DOI: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2014.27680

### Solutions of helmholtz equation in complex domain

Михайло Антонович Сухорольський, Галина Володимирівна Івасик, Вероніка Володимирівна Достойна

#### Abstract

A harmonic equation and the Helmholtz equation are elliptic type equations and describe important physical processes (the first – stationary, the second - stationary and dynamic). Effective solutions of boundary value problems for harmonic equation (in different regions in the plane) are constructed by the methods of the theory of analytic functions of a complex variable. These methods can not be applied directly to solving problems for the Helmholtz equation. In the scientific literature, solutions of boundary value problems for this equation are known only in certain areas that are represented by cumbersome formulas.

In the paper, using the solution of the Helmholtz equation in a circle through the functions (not analytical) of complex variable and conformal mapping of a given area on the circle, a general approach to building a solution of the corresponding boundary value problem is formulated. An important prerequisite for presenting this solution as functional series is finding the solution of harmonic equation in a given region that satisfies the given boundary conditions and an analytic function in this region respectively. The solutions of the Helmholtz equation in the plane with an elliptic hole and half-plane are constructed. For effective formulation of boundary value prob­lems and finding analytic functions in these areas, systems of basic functions in the corresponding spaces of analytic functions are found.

#### Keywords

Helmholtz equation; analytical solution of Helmholtz equation; conformal mapping; boundary value problems

PDF (Українська)

#### References

1. Lavrentiev, M. A., Shabat, B. V. (1987). Methods of the theory of functions of complex variable. Moscow: "Science", 698.

2. Mushelyshvyly, N. I. (1968). Some Basic Mathematical problems of the theory of elasticity. Moscow: Science, 512.

3. Sukhorolsky, M. A. (2011). Systems solutions of the Helmholtz equation. Bulletin of the National Univ "Lviv Polytechnic". Series Sci. Science, 718, 19–34.

4. Korn, G. A., Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. DOVER PUBLICATIONS, INC: Mineola, New York, 1, 130.

5. Nikiforov, A. F., Uvarov, V. B. (1974). Fundamentals of the theory of special functions. Moscow: Science, 304.

6. Sukhorolsky, M. A.; Lukovskoho, I. O., Kita, H. S., Kushnira, R. M. (Ed.) (2014). Analytical solutions of the Helmholtz equation. Mathematical problems of mechanics of heterogeneous structures. Lviv: IPPMM NAS Ukraine, 160–163.

7. Sidorov, Y. V., Fedoryuk, M. V., Shabunin, M. I. (1982). Lectures on the theory of functions of complex variable. Moscow: Science, 488.

8. Sukhorolsky, M. A., Kostenko, I. S., Dostoina, V. V. (2013). Construction of the solutions of partial differential equations in the form of contour integrals. Bulletin KHNTU, 2 (47), 323–326.

9. Markushevich, A. I. (1968). Analytical theory of functions. Moscow: Science, 624.

10. Sukhorolsky, M. A. (2010). Expansion of functions on the system of polynomials, biortohonalnyh on closed circuit system of regular infinitely distant point functions. Ukr. Math. J., 62 (2), 238–254.

11. Paszkowski, S. (1975). Zastosowania numeryczne wielomianow i szeregow Czebyszewa. Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 481.

#### GOST Style Citations

1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. ‑ М.: «Наука», 1987. – 698 с.

2. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н. И. Мусхелишвили – М.: Наука, 1968. – 512 с.

3. Сухорольський, М. А. Системи розв’язків рівняння Гельмгольца [Текст] / М. А. Сухорольський // Вісник Національного у-ту «Львівська політехніка». Серія фіз.-мат. науки. – 2011. ‑ № 718. – С. 19–34.

4. Korn, G. A. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers [Text] / G. A. Korn, T. M. Korn. – DOVER PUBLICATIONS, INC: Mineola, New York, 2000. ‑ 1130 p.

5. Никифоров, А. Ф. Основы теории специальных функций [Текст] / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. – М.: Наука, 1974. ‑304 с.

6. Сухорольський, М. А. Аналітичні розв’язки рівняння Гельмгольца [Текст] / М. А.  Сухорольський; під заг. ред. І. О. Луковського, Г. С. Кіта, Р. М. Кушніра. – Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів: ІППММ НАН України, 2014. – С. 160–163.

7. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного [Текст] / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. – М.: Наука, 1982. ‑ 488 с.

8. Сухорольський, М. А. Побудова розв’язків рівнянь з частинними похідними у вигляді контурних інтегралів [Текст] / М. А. Сухорольський, І. С. Костенко, В. В. Достойна // Вісник ХНТУ. – 2013. ‑ № 2 (47). – С. 323–326.

9. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функцій. Том 2. [Текст] / А. И. Маркушевич. – М.: Наука, 1968. ‑ 624 с.

10. Сухорольський, М. А. Розвинення функцій за системою поліномів, біортогональних на замкненому контурі з системою регулярних у нескінченно віддаленій точці функцій [Текст] / М. А. Сухорольський // Укр. мат. журн. – 2010. – Т. 62, № 2. – С. 238–254.

11. Paszkowski, S. Zastosowania numeryczne wielomianow i szeregow Czebyszewa [Text] / S. Paszkowski. – Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975. ‑ 481 p.

Copyright (c) 2014 Михайло Антонович Сухорольський, Галина Володимирівна Івасик, Вероніка Володимирівна Достойна