Recovery of potential using module values of its gradient. 1

Authors

  • A. V. Chernyi Subbotin Institute of Geophysics, National Academy of Sciences of Ukraine, Ukraine
  • A. I. Yakimchik Subbotin Institute of Geophysics, National Academy of Sciences of Ukraine, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-5091-9221

DOI:

https://doi.org/10.24028/gzh.0203-3100.v21i3.1999.214577

Abstract

The history of the problem investigation is briefly described. Gravity is characterized. It is proven that no accurate boundary conditions can be deduced for any linear classical problem of the potential theory (including the problem of Stox – Molodensky for the Laplace equation) from the potential gradient module values. It is shown that the error of the transformations of the potential gradient module anomalies as harmonic functions depends on the carvature of the equipotential surfaces of the field, the amplitude of the anomalies and the measure of the domain in which the transformation is made. It is stated that the methods of processing and interpreting gravity and aeromagnetic anomalies developed on the basis of the theory of harmonic functions and successfully used in exploration geophysics may appear to be ineffective in studying the deep regional structure of the Earth. To pass through the crisis we propose a new definition of a non-linear boundary problem of recovering the attraction (or magnetic) potential in an unbounded closed domain from the values of the module of its gradient at the boundary of the domain provided the potential is similar to the given one. A method is proposed to solve the problem in a succession of the solutions of the Neumann's problems for the Laplace equation which determines the disturbing potential.

References

Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. – М.: Геодезиздат, 1961. – 256 с.

Идельсон Н. И. Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли и геофизике. – М.; Л.: ОНТИ, 1936. – 424 с.

Стокс Дж. О силе тяжести на земной поверхности // Статьи о силе тяжести и фигуре Земли. – М.: Геодезиздат, 1961. – С. 11–44.

Пуанкаре А. Измерение силы тяжести и геодезия // Статьи о силе тяжести и фигуре Земли. – М.: Геодезиздат, 1961. – С. 103–135.

Молоденский М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии // Тр. ЦНИИГАиК. – М.: Геодезиздат, 1945. – Вып. 42. – С. 10–61.

Молоденский М. С., Еремеев В. Ф., Юркина М. И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигура Земли // Тр. ЦНИИГАиК. – М.: Геодезиздат, 1960. – Вып. 131. – 290 с.

Юнг К. Гравиметрические методы прикладной геофизики // Прикл. геофизика. – М.; Л.: ОНТИ, 1936. – Вып. 1. – С. 53–204.

Нумеров Б. В. Интерпретация гравитационных, наблюдений в случае одной контактной поверхности // Докл. АН СССР. – 1930. – № 21. – С. 569–574.

Новиков П. С. О единственности решения обратной задачи потенциала // Там же. — 1938. – 18, № 3. – С. 165–168.

Сретенский Л. Н. Об одной обратной задаче теории потенциала // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1938. – № 5-6. – С. 551–570.

Заморев А. А. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной, заданной на плоскости // Изв. АН СССР. Сер. географ. и геофиз. – 1939. –№ 3 – С. 275–285.

Заморев А. А. Исследование двухмерной обратной задачи потенциала // Там же. – 1941. – № 4-5. – С. 487–500.

Заморев А. А. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала // Там же. – 1942. – № 1-2. – С. 48–54.

Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. – 1943. – 39, № 5. – С. 195–198.

Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. – Л.: Недра. 1965. – 496 с.

Рапопорт И. М. Об одной задаче теории потенциала // Укр. матем. журн. – 1950. – 2, № 2. – С. 38–55.

Справочник геофизика. Гравиразведка. – М.: Недра, 1981. – 400 с.

Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. – Новосибирск: Изд-во Новосибир. ун-та, 1966. – 560 с.

Сербуленко М. Г. Линейные методы разделения потенциальных полей // Приложение некоторых методов математики к интерпретации геофизических данных. – Новосибирск: Наука, 1967. – С. 5–75.

Страхов В. Н. Некоторые применения функционально-аналитических методов в математической теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий: Автореф. дне. ... д-ра физ.-мат. наук. – М.: 1972 – 78 с.

Алексидзе М. А., Гелашвили М. С., Картвелишвили К. М. Исследование некоторых вопросов трансформации потенциальных полей. – Тбилиси: Мецниереба, 1972. – 284 с.

Соколовский К. И. Экстремальный метод разделения и экстраполяции потенциальных полей // Теория и методика геофизических исследований. – Киев: Наук. думка, 1974. – С. 19–29.

Черный А. В., Гольцев В. Г. О восстановлении производных гармонических функций, описывающих гравитационные и магнитные аномалии, по приближенно заданным их значениям в регулярной сети точек вещественной оси. Ч. 1–5 // Геофиз. журн. – 1979. – 1, № 2. – С. 48–56. – 1980. — 2. № 1. – С. 38–47. – 1982. – 4, № 6. – С. 78–86. – 1985. – 7. № 3. – С. 80–88.

Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. математ. – 1956. — 20, № 6. – С. 819–842.

Иванов В. К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному // Там же. – 1956. – 20. № 6. – С. 793–818.

Иванов В. К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа // Математ. сб. – 1956. — 40 (82), № 3. – С. 319–338.

Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. – 92 с.

Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. – М.: Наука, 1980. – 288 с.

Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. Н. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. – М.: Наука, 1978. – 206 с.

Тихонов А. Н., Арсенин В. Н. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 288 с.

Прилепко Л. И. К теории обратных задач обобщенных потенциалов: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Новосибирск, 1968. – 32 с.

Страхов В. Н. Об интегральных и функциональных уравнениях некоторых обратных задач теории логарифмического потенциала и их значении для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли. – 1976. – № 3. – С. 54–68.

Страхов В. Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможность ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий. Ч. 1-2 // Там же. – 1980. № 2. – С. 44–64; – № 9. – С. 36–69.

Страхов В. Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. Ч. 1-2 // Там же. – 1990. № 7. – С. 3–27; – № 8. – С. 37–64.

Цирульский А. В., Никонова Ф. И., Федорова Н. В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с использованием эквивалентных семейств решений. – Свердловск: Изд. УНЦ Ин-та геофизики АН СССР, 1980. – 136 с.

Цирульский А. В. Вопросы теории и методы интерпретации потенциальных геофизических полей. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. – 96 с.

Чередниченко В. Г. Плоские обратные задачи теории потенциала: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – М. 1983. – 18 с.

Черный А. В. Избранные задачи гравиметрии и гравиразведки и методы их решения: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1992. – 34 с.

Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 112 с.

Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. – Киев: Наук. думка, 1978. – 223 с.

Оганесян С. М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1987. – 36 с.

Балк П. И. Детерминистские модели интерпретации гравитационных полей: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1989. – 34 с.

Булах Е. Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий. – Киев: Наук. думка, 1973. – 112 с.

Голиздра Г. Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. – М.: Недра, 1988. – 212 с.

Кобрунов А. И. Экстремальные классы в задачах гравиметрии и их использование для построения плотностных моделей геологических сред: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев. 1985. – 49 с.

Корчагин И. Н. Методы автоматизированного подбора и их использование при интерпретации геофизических данных: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1994. – 48 с.

Алексидзе М. А. Редукция силы тяжести. – Тбилиси: Мецниереба, 1965. – 256 с.

Черный А. В. О редуцировании значений силы тяжести: Автореф. дис. ... канд. геол.-мин. наук. – Новосибирск, 1970. – 20 с.

Черный А. В. Об уравнении силы тяжести // Докл. АН УССР. Сер. Б. – 1970.—№ 2. – С. 145–148.

Черный А. В. Конструкция главного фундаментального решения уравнения силы тяжести // Там же. – № 3. – С. 237–239.

Черный А. В. Редуцирование значений силы тяжести с земного рельефа на некоторую внешнюю поверхность // Там же. – № 6 – С. 519–521.

Черный А. В. О вычислении аномалий силы тяжести // Там же. – № 8. – С. 708–710.

Черный А. В. Описание гравитационных аномалий // Там же. – 1982. – № 4. – С. 18–21.

Чорний А. В. Про нову задачу для рівняння Лапласа // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 1995. – Вип. 13. – С. 72–80.

Алексидзе М. А. Решение некоторых основных задач гравиметрии. – Тбилиси: Мецниереба. 1985. – 412 с.

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971. – 512 с.

Картвелишвили К. М. Планетарная плотностная модель и нормальное гравитационное поле Земли. – М.: Наука, 1982. – 94 с.

Published

1999-04-01

How to Cite

Chernyi, A. V., & Yakimchik, A. I. (1999). Recovery of potential using module values of its gradient. 1. Geofizicheskiy Zhurnal, 21(3), 55–72. https://doi.org/10.24028/gzh.0203-3100.v21i3.1999.214577

Issue

Section

Articles

Most read articles by the same author(s)