Адаптивное вычисление длин кривых, задаваемых недифференцируемыми функциями

Аннотация

Измерение длин кривых достаточно распространено при решении различных задач. Если функция, задающая кривую, дифференцируема, то вычисление длины является относительно простой математической операцией. При отсутствии начальной информации о функции приходится применять приближенные методы. Какой из этих методов целесообразно использовать для конкретной функции, обычно решает сам пользователь. Одним из важных факторов, влияющих на выбор метода, является имеющийся ресурс времени на предварительный анализ функции и согласование с начальными данными, которые включают необходимую точность результата и общие численные затраты. В статье предлагается метод, основанный на апостериорном подходе к проблеме, когда анализ характера поведения функции осуществляется в самом процессе приближенного измерения длины кривой в заданной области. Такой способ стал возможным благодаря введению пошагового адаптивного механизма, реагирующего на отклонение кривой функции от аппроксимирующей ее ломаной. В конечном итоге принятый локальный анализ вследствие адаптации позволил проходить участки с большой крутизной кривой с малым шагом, а пологие – с большим. При особенно резком изменении функции (например, в подобластях с особенностями) основной адаптивный механизм наделен возможностью выхода за границы принятого набора констант без серьезных усложнений алгоритма. Таким образом, отпала необходимость в предварительном анализе характера поведения функции, не обязательно регулярной, и выявлении особенностей (изломы, экстремальные точки и т.п.), их числа и места. Для вычисления длины кривой достаточно задать функцию на данной области и необходимую точность, ограниченную минимальным шагом, не заботясь об использовании каких-то вспомогательных таблиц и весовых коэффициентов. Проведенный численный эксперимент на тестовом наборе функций разной сложности показал преимущество предлагаемого подхода над сеточными методами, особенно с равноотстоящими узлами.