DOI: https://doi.org/10.15587/2312-8372.2015.41156

Simulation and numerical analysis of dynamical systems with competitive interactions

Валид Ахмед Альрефаи

Abstract


The effects of the destabilization of competitive coexistence "populations" – actors described by a system of differential equations of Lotka-Volterra for three classes of objects: the economic system "producer-mediator", the Keynesian model of the economy of several countries, and weak sinusoidal external influences on the rate of "reproduction". The stability of such systems is investigated. Numerical solutions are found at frequencies of exposure close to the frequency of the unperturbed system.

Such systems are soft classical models of many real objects in environment, economy and other areas, and their studies are relevant.

It is known that the corresponding system of nonlinear equations, especially with the right part of the disturbed, generally cannot be solved. Numerical experiment revealed bifurcation when changing the amplitudes of n, and the period of the disturbance . Trophic parameters of the unperturbed system do not lead to bifurcations for the classical Lotka-Volterra system.

The studies found that the variation of the amplitude (in the range 0-0,15) lead to the transition of the system of periodic motions to sustainable growth, and then to chaotic oscillations. So, bifurcation introduces asymmetry in the structure of the characteristic exponents, and with it the instability and "withdrawal" of path to infinity. There are possible both monotonous and chaotic type.


Keywords


Lotka-Volterra model; model perturbations; stability problems; periodic solutions; attractor; limit cycle

References


Volterra, V. (2004). Matematicheskaia teoriia borby za sushchestvovanie. Moscow-Izhevsk: Institut kompiuternykh issledovanii, 288.

Jost, C., Devulder, G., Vucetich, J. A., Peterson, R. O., Arditi, R. (2005). The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and ratio-dependent predation on moose. Journal of Animal Ecology, 74 (5), 809–816. doi:10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x

Martyniuk, A. A., Nikitina, N. V. (1996). Haoticheskaia poteria predelnogo tcicla v zadache Volterra. Doclady NAN Ukrainy, 4, 1–7.

Nikitina, N. V. (1997). O haoticheskoi potere ustoichivosti. Doclady NAN Ukrainy, 11, 61–65.

Hayashi, С., Kawakami, H. (1981). Bifurcations and the Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Еquations. Materialy 4-i Natc. kongr. "Teoregicheskaia i pricladnaia mehanika". Varna, Sophia, 537–542.

Hoppensteadt, F. (2006). Predator-prey model. Scholarpedia, 1 (10), 1563. doi:10.4249/scholarpedia.1563

Sorokin, P. A. (2004). Modelirovanie biologicheskikh populiatcii s ispolzovaniem kompleksnykh modelei, vcliuchaiushchikh v sebia individuum-orientirovannye i analiticheskie komponenty. Dolgoprudnyi, 153.

Errousmit, D. K., Pleis, K. M. (1986). Obyknovennye differentcialnye uravneniia. Kachestvennaia teoriia s prilozheniiami. Moscow: Mir, 243.

Brauer, F., Castillo-Chavez, C. (2000). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer-Verlag, 201. doi:10.1007/978-1-4757-3516-1

Arditi, R., Ginzburg, L. R. (2012). How Species Interact: Altering the Standard View on Trophic Ecology. Oxford University Press, 112.

Gusiatneykov, P. P. (2006). Kachestvennye i chislennye metody v zadachakh optimalnogo upravleniia v modeliakh hishchnik-zhertva i populiatcii lemmingov. Moskow, 101.

Nasritdinov, G., Dalimov, R. T. (2010). Limit cycle, trophic function and the dynamics of intersectoral interaction. Current Research J. of Economic Theory, 2 (2), 32–40.

Shcherbakovskii, G. Z. (1997). Vnutrennii mehanizm konkurentcii i konkurentnye sily. Moscow: Ekonomika, 178

Dai, G., Tang, M. (1998, February). Coexistence Region and Global Dynamics of a Harvested Predator-Prey System. SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 58, № 1, 193–210. doi:10.1137/s0036139994275799

Zang, V. B. (1999). Sinergeticheskaia ekonomika. Vremia i peremeny v nelineinoi ekonomicheskoi teorii. M.: Mir, 335.

Keins, J. G. (1993). Izbrannye proizvedeniia. M.: Ekonomika, 430.

Lineinaia model' ekonomiki s "nelineinymi " effektami. Available: http://socintegrum.ru/forum/viewtopic.php?t=34&start=0&postdays=0&postorder=asc&highlight=

Naumeiko, I., Alrefai W. (2014). Competition model in the "manufacturer – second-hand dealers" type systems. ScienceRise, 3(2 (3)), 15-19. doi:http://dx.doi.org/10.15587/2313-8416.2014.28094


GOST Style Citations


Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование [Текст] / В. Вольтерра. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 288 с.

Jost, C. The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and density dependent predation on moose [Теxt] / С. Jost, G. Devulder, J. A. Vucetich, R. Peterson, R. Arditi // Journal of Animal Ecology. – 2005. – Vol. 74, № 5. – P. 809–816. doi:10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x 

Мартынюк, А. А. Хаотическая потеря предельного цикла в задаче Вольтерра [Текст] / А. А. Мартынюк, Н. В. Никитина // Доклады НАН Украины. – 1996. – № 4. – С. 1–7.

Никитина, Н. В. О хаотической потере устойчивости [Текст] / Н. В. Никитина // Доклады НАН Украины. – 1997. – № 11. – С. 61–65.

Hayashi, С. Bifurcations and the Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Еquations [Теxt]: материалы 4-й Нац. конгр. / С. Hayashi, H. Kawakami // Теоретическая и прикладная механика. – Варна, София, 1981 – С. 537–542.

Hoppensteadt, F. Predator-prey model [Теxt] / F. Hoppensteadt // Scholarpedia. – 2006.– Vol. 1, № 10. – P. 1563. doi:10.4249/scholarpedia.1563 

Сорокин, П. А. Моделирование биологических популяций с использованием комплексных моделей, включающих в себя индивидуум-ориентированные и аналитические компоненты [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук / П. А. Сорокин. – Долгопрудный, 2004. – 153 c.

Эрроусмит, Д. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями [Текст] / Д. К. Эрроусмит, К. М. Плейс. – М.: Мир, 1986. – 243 с.

Brauer, F. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology [Теxt] / F. Brauer, C. Castillo-Chavez. – Springer-Verlag, 2001. – 201 p. doi:10.1007/978-1-4757-3516-1

Arditi, R. How Species Interact: Altering the Standard View on Trophic Ecology [Теxt] / R. Arditi, L. R. Ginzburg. – Oxford University Press, 2012. – 112 р.

Гусятников, П. П. Качественные и численные методы в задачах оптимального управления в моделях хищник-жертва и популяции леммингов [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук / П. П. Гусятников. – Москва, 2006.– 101 с.

Nasritdinov, G. Limit cycle, trophic function and the dynamics of intersectoral interaction [Теxt] / G. Nasritdinov, R. T. Dalimov // Current Research J. of Economic Theory. – 2010. – Vol. 2, № 2. – P. 32–40.

Щербаковский, Г. З. Внутренний механизм конкуренции и конкурентные силы [Текст] / Г. З. Щербаковский. – М.: Экономика, 1997. – 178 с.

Dai, G. Coexistence Region and Global Dynamics of a Harvested Predator-Prey System [Теxt] / G. Dai, M. Tang // SIAM Journal on Applied Mathematics. – 1998. – Vol. 58, № 1. – P. 193–210. doi:10.1137/s0036139994275799

Занг, В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории [Текст] / В. Б. Занг. – М.: Мир, 1999. – 335 с.

Кейнс, Дж. Г. Избранные произведения [Текст] / Дж. Г. Кейнс. – М.: Экономика, 1993. – 430 с.

Линейная модель экономики с "нелинейными " эффектами [Электронный ресурс]. – Режим доступа: \www/URL: http://socintegrum.ru/forum/viewtopic.php?t=34&start=0&postdays=0&postorder=asc&highlight=

Наумейко, И. В. Модель конкуренции в системах типа “производитель-перекупщик” [Текст] / И. В. Наумейко, В. А. Альрефаи // ScienceRise. – 2014. – № 3/2 (3). – С. 15-19. doi:10.15587/2313-8416.2014.28094







Copyright (c) 2016 Валид Ахмед Альрефаи

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

ISSN (print) 2226-3780, ISSN (on-line) 2312-8372