Пространство совместно порожденное метрическим тензором и тензором кручения, вывод уравнения Гильберта - Эйнштейна
DOI:
https://doi.org/10.15673/2072-9812.2/2014.29622Ключевые слова:
Метрический тензор, связность, тензор кручения, расслоение, ковариантная производная, геодезическая линия, гиперповерхность, гравитация, электромагнитное полеАннотация
В данной статье изучается геометрия, порождаемая согласовано и совместно метрическим тензором и тензором кручения.
Во введении содержится обзор проблемы статьи, формулируется цель – исследовать геометрические свойства пространства, которое порождено метрикой и кручением, то есть построить геометрию исходя из двух тензоров – симметрического метрического и кососимметрического по паре ковариантных индексов тензора кручения.
В основной части работы исследована структура тензора кривизны и ее характерные особенности в пространстве Y^n, получен аналог тождества Риччи – Якоби; также оценен зазор, который возникает при переходе от оригинала к изображению и, наоборот, в случаи бесконечно малых контуров. Построена геометрия гиперповерхности Y^n-1 (введена связность) в пространстве Y^n, введен тензор π_αβ подобный второму фундаментальному тензору для гиперповерхности Y^n-1, выведены деривационные формулы. Изучены свойства геодезических линий в пространстве Y^n, получена формула для вариации геодезической. Получены уравнения электромагнитно-гравитационных полей (уравнения типа Гильберта-Эйнштейна).Библиографические ссылки
Agricola I. and Friedrich T. On the holonomy of connections with skew - symmetric torsion. Mathematische Annalen, vol. 328, pp. 711-748., 2004.
Agricola I. and Friedrich T. A note on flat metric connections with antisymmetric torsion. Differential Geometry and its Applications, vol. 2, pp. 480-487., 2010.
Alexandrov B. and Ivanov S. Vanishing theorems on Hermitian manifolds. Differential Geometry and Applications, vol. 14(3), pp. 251-265., 2001.
Alberto S. A geometrical action for dilaton gravity. Class. Quantum Grav. 12 L85, 1995.
Bonneau G. Compact Einstein-Weyl four-dimensional manifolds. Classical and Quantum Gravity, vol. 16, pp. 1057-1068., 1999.
Bredies Kristian. Symmetric tensor fields of bounded deformation. Zbl 06226689 Ann. Mat. Pura Appl. vol. 192 (4), N. 5, pp. 815-851, 2013.
Cartan E. and Schouten J. On Riemannian geometries admitting an absolute parallelism. Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Proceedings. Series A, vol. 29, pp. 933-946., 1926.
Cartan E. and Schouten J. On the geometry of the group manifold of simple and semisimple groups. Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Series A, vol. 29, pp. 803-815., 1926.
Cavalcanti G. Reduction of metric structures on Courant algebroids. Journal of Symplectic Geometry, vol. 4(3), pp. 317-343., 2006.
Dereli Т., Tucker Robin W. An Einstein-Hilbert action for axi-dilaton gravity in four dimensions. Class. Quantum Grav, 1995.
Einstein A. The Meaning of Relativity. Princeton Univ. Press. Princeton, 1921.
Einstein A. Relativity: The Special and General Theory, New York: H. Holt and Company, 1920.
Einstein A. Theorie unitaire de champ physique. Ann. Inst. H. Poincare, N1 pp. 1-24., 1930.
Manoff S. Frames of reference in spaces with affine connections and metrics. Class. Quantum Grav., 2001.
Mosna R., Saa A. Volume elements and torsion. Journal of Mathematical Physics, 46(11) : 112502, 2005.
Peacock J. A., Cosmological Physics. Cambridge U. Press, Cambridge U.K, 1999.
Peebles P. J. E. Principles of Physical Cosmology. Princeton U. Press, Princeton U.S.A., 1993.
Rindler W. Essential relativity. Special, general and cosmological. Texts and Monographs in Physics, New York: Springer, 2nd ed., 1977.
Jost J. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
Pedersen H. and Swann A. Riemannian submersions, four-manifolds and Einstein-Weyl geometry. Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 66, pp. 381-399, 1993.
Sean Dineen. Multivariate calculus and geometry. 3rd ed. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin, Springer, 259 p., 2014.
Vargas Josy G. Differential geometry for physicists and mathematicians. Moving frames and differential forms: From Euclid past Riemann, 2014.
