Простір узгоджено породжений метричним тензором і тензором кручення, виведення рівняння Гільберта - Ейнштейна
DOI:
https://doi.org/10.15673/2072-9812.2/2014.29622Ключові слова:
Метричний тензор, зв'язність, тензор кручення, розшарування, коваріантна похідна, геодезична лінія, гіперповерхня, гравітація, електромагнітне полеАнотація
У даній статті вивчається геометрія, породжувана погоджено і спільно метричним тензором і тензором кручення.
У вступі міститься огляд проблеми статті, формулюється мета - дослідити геометричні властивості простору, який породжений метрикою і крученням, тобто побудувати геометрію виходячи з двох тензорів - симетричного метричного і кососиметричного по парі коваріантних індексів тензора кручення.
В основній частині роботи досліджено структуру тензора кривизни і його характерні особливості в просторі Y^n, отриманий аналог тотожності Річчі - Якобі; оцінений зазор, який виникає при переході від оригіналу до зображення і, навпаки, у випадку нескінченно малих контурів. Побудована геометрія гіперповерхні Y^n-1 (введена зв'язність) в просторі Y^n, введений тензор π_αβ подібний до другого фундаментального тензору для гіперповерхні Y^n-1, одержані дериваційні формули. Вивчено властивості геодезичних ліній в просторі Y^n, отримана формула для варіація геодезичної. Виведено рівняння електромагнітно-гравітаційних полів (рівняння типу Гільберта-Ейнштейна).Посилання
Agricola I. and Friedrich T. On the holonomy of connections with skew - symmetric torsion. Mathematische Annalen, vol. 328, pp. 711-748., 2004.
Agricola I. and Friedrich T. A note on flat metric connections with antisymmetric torsion. Differential Geometry and its Applications, vol. 2, pp. 480-487., 2010.
Alexandrov B. and Ivanov S. Vanishing theorems on Hermitian manifolds. Differential Geometry and Applications, vol. 14(3), pp. 251-265., 2001.
Alberto S. A geometrical action for dilaton gravity. Class. Quantum Grav. 12 L85, 1995.
Bonneau G. Compact Einstein-Weyl four-dimensional manifolds. Classical and Quantum Gravity, vol. 16, pp. 1057-1068., 1999.
Bredies Kristian. Symmetric tensor fields of bounded deformation. Zbl 06226689 Ann. Mat. Pura Appl. vol. 192 (4), N. 5, pp. 815-851, 2013.
Cartan E. and Schouten J. On Riemannian geometries admitting an absolute parallelism. Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Proceedings. Series A, vol. 29, pp. 933-946., 1926.
Cartan E. and Schouten J. On the geometry of the group manifold of simple and semisimple groups. Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Series A, vol. 29, pp. 803-815., 1926.
Cavalcanti G. Reduction of metric structures on Courant algebroids. Journal of Symplectic Geometry, vol. 4(3), pp. 317-343., 2006.
Dereli Т., Tucker Robin W. An Einstein-Hilbert action for axi-dilaton gravity in four dimensions. Class. Quantum Grav, 1995.
Einstein A. The Meaning of Relativity. Princeton Univ. Press. Princeton, 1921.
Einstein A. Relativity: The Special and General Theory, New York: H. Holt and Company, 1920.
Einstein A. Theorie unitaire de champ physique. Ann. Inst. H. Poincare, N1 pp. 1-24., 1930.
Manoff S. Frames of reference in spaces with affine connections and metrics. Class. Quantum Grav., 2001.
Mosna R., Saa A. Volume elements and torsion. Journal of Mathematical Physics, 46(11) : 112502, 2005.
Peacock J. A., Cosmological Physics. Cambridge U. Press, Cambridge U.K, 1999.
Peebles P. J. E. Principles of Physical Cosmology. Princeton U. Press, Princeton U.S.A., 1993.
Rindler W. Essential relativity. Special, general and cosmological. Texts and Monographs in Physics, New York: Springer, 2nd ed., 1977.
Jost J. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
Pedersen H. and Swann A. Riemannian submersions, four-manifolds and Einstein-Weyl geometry. Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 66, pp. 381-399, 1993.
Sean Dineen. Multivariate calculus and geometry. 3rd ed. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin, Springer, 259 p., 2014.
Vargas Josy G. Differential geometry for physicists and mathematicians. Moving frames and differential forms: From Euclid past Riemann, 2014.
