Адаптивный метод численного дифференцирования трудновычислимых функций

Аннотация

Рассмотрен адаптивный подход к численному дифференцированию трудновычислимых функций. Сложные зависимости, являющиеся результатом многократных суперпозиций функций или продуктом различных алгоритмических процессов, трудны для непосредственного исследования. Для установления характера поведения таких зависимостей приходится прибегать к численному анализу. Одной из важных характеристик функций является производная, указывающая направление и быстроту изменения зависимости. Однако при трудновычислимых функциях имеющейся априорно информации не всегда достаточно, чтобы известными средствами можно было бы достичь надлежащей точности решения. Потеря точности происходит за счёт накопления ошибок округления, растущих пропорционально количеству вычисленных значений функции. В этом случае приходится переходить к апостериорному подходу, чтобы определить поведение функции и отойти от схемы равноотстоящих узлов, опираясь на адаптивный способ изучения локальной обстановки в области определения функции. В статье реализован  адаптивный метод поиска производных функции при минимуме ограничительных требований к классу функций и формы их задания. Благодаря этому значительно уменьшились затраты на вычисление функции, в результате чего количество вычислений было доведено почти до оптимального уровня. При этом резко снизился объём используемой оперативной памяти. Отсутствует необходимость в предварительном анализе задачи по установлению класса исследуемой функции, в привлечении спецфункций или преобразовании начальных  условий для использования стандартных таблиц весовых коэффициентов и т.п. Для исследования достаточно задать непрерывную и ограниченную функцию на фиксированном отрезке и минимальный шаг, косвенно отвечающий за обеспечение необходимой точности дифференцирования. Эффективность предложенного метода демонстрируется на ряде тестовых примеров. Разработанный метод может быть использован в более сложных задачах, например, при решении некоторых типов дифференциальных и интегральных уравнений, а также для широкого ряда задач оптимизации в самых разнообразных областях прикладного анализа и синтеза.