Адаптивний метод чисельного диференціювання важкообчислювальних функцій

Анотація

Розглянуто адаптивний підхід до чисельного диференціювання важкообчислювальних функцій. Складні залежності, які є результатом багаторазових суперпозицій функцій або різних алгоритмічних процесів, складні для безпосереднього дослідження. Для встановлення характеру поведінки таких залежностей доводиться вдаватися до чисельного аналізу. Однією з важливих характеристик функцій є похідна, яка вказує напрям і швидкість зміни залежності. Однак при складнообчислювальних функціях наявної апріорно інформації не завжди достатньо, щоб відомими засобами можна було б досягти належної точності розв’язку. Втрата точності відбувається внаслідок накопичення помилок округлення, які зростають пропорційно кількості задіяних значень функції. У цьому випадку доводиться переходити до апостеріорного підходу для того, щоб визначити поведінку функції та відійти від схеми рівновіддалених вузлів, спираючись на адаптивний спосіб вивчення локальної обстановки в області визначення функції. У статті реалізовано адаптивний метод пошуку похідних функції при мінімумі обмежувальних вимог до класу функцій і форми їх задання. Завдяки цьому значно зменшилися витрати на обчислення функції, в результаті чого кількість обчислень було доведено майже до оптимального рівня. При цьому різко знизився обсяг використовуваної оперативної пам'яті. Немає потреби в проведенні попереднього аналізу зі встановлення класу досліджуваної функції, в залученні спецфункцій або перетворенні початкових умов для використання стандартних таблиць вагових коефіцієнтів і т.п. Для дослідження достатньо задати неперервну і обмежену функцію на фіксованому сегменті і мінімальний крок, якій побічно відповідає за забезпечення необхідної точності диференціювання. Ефективність запропонованого методу демонструється на ряді тестових прикладів. Розроблений метод може бути використано у більш складних задачах, наприклад, при розв’язанні деяких типів диференціальних і інтегральних рівнянь, а також для широкого ряду задач оптимізації в найрізноманітніших областях прикладного аналізу та синтезу.