О комбинаторном инварианте псевдогармонических функций, заданных на k-связной замкнутой области

Аннотация

Пусть f - псевдогармоническая функция, заданная на  k-связной ориентированной замкнутой области D, ограниченной конечным числом жордановых кривых. Напомним, что данный класс функций совпадает с классом непрерывных функций с конечным числом критических точек как в середине области, так и на ее границе.

В работе [4], авторами полностью исследовано случай  диска: построено топологический инвариант данного класса функций,  доказаны его основные свойства, критерий их топологической эквивалентности, а также критерий реализации специального класса графов, как инварианта функций.

В данной статье построено комбинаторный инвариант G(f) функции f в случае k-связной замкнутой области, который состоит из графов Кронрода-Риба сужения функции f на границу области D и тех связных компонент линий уровня критических и полурегулярных значений функции, что содержат критические и граничные критические точки. Согласно построения, G(f)  является смешанным псевдографом (графом с кратными ребрами и петлями) со строгим частичным порядком на вершинах, который индуцирован функцией f. У графа G(f) есть два типа циклов: C-цикл (простой цикл, каждая пара смежных вершин которого сравнима) и L -цикл (простой цикл, каждая пара смежных вершин которого является несравнимой). Автором доказаны теорема о структуре инварианта и тот факт, что количество  C-циклов комбинаторного инварианта равно числу кривых, из которых состоит граница k-связной ориентированной замкнутой области.