Про комбінаторний інваріант псевдогармонічних функцій, заданих на k-зв’язній замкненій області

Abstract

Нехай f- псевдогармонічна функція, яка задана на  k-зв'язній орієнтованій замкненій області D, обмеженій скінченним числом жорданових кривих. Нагадаємо, що даний клас функцій співпадає із класом неперервних функцій, що мають скінченне число сідлових критичних точок у внутрішності області та скінченне число локальних екстремумів на межі.

У роботі [4], авторами повністю досліджено випадок диску, а саме, побудовано топологічний інваріант даного класу функцій, доведено його основні властивості, критерій їх топологічної еквівалентності та критерій реалізації спеціального класу графів як інваріанту функцій.

В даній статті побудовано комбінаторний інваріант G(f) функції f у випадку k-зв'язної замкненої області, який складається із графів Кронрода-Ріба звуження функції f на межу області D та зв'язних компонент тих ліній рівня критичних та напіврегулярних значень функції, які містять критичні або межові критичні точки. Згідно побудови, G(f) є змішаним псевдографом (графом із кратними ребрами та петлями) зі строгим частковим порядком на вершинах, що індукується значеннями функції f. У графа G(f)  є два типи циклів: C-цикл (простий цикл, кожна пара суміжних вершин якого є порівняною) та L-цикл (простий цикл, кожна пара суміжних вершин якого є непорівняною). Автором доведено теорему про структуру інваріанту, а також той факт, що  кількість C-циклів у комбінаторному інваріанті дорівнює кількості межових кривих, які обмежують дану k-зв'язну орієнтовану замкнену область.