Свойства псевдогармонической функций на замкнутой области

Аннотация

Пусть f – псевдогармоническая функция, заданная на k-связной ориентированной замкнутой области D, граница которой состоит из конечного числа жордановых кривых. Напомним, что класс псевдогармонических функций совпадает с классом непрерывных функций таких, что во внутренности области существует конечное число критических точек, каждая из которых есть седловой точкой, и конечным числом локальных экстремумов (минимумов и максимумов) на границе области.

В данной работе доказано, что замыкание каждой связной компоненты семьи, которая есть разность области D и тех связных компонент линий уровня критических или полурегулярных значений функции f, содержащих критические и критические точки границы, есть замкнутой областью одного из трех типов (кольцо, полоса или сектор). Первый тип характеризируется тем, что граница такой области состоит из двух связных компонент, у которых нет общих точек с границей области D, а все линий уровня  во внутренности гомеоморфные окружности. Другой и третий типы областей имеют одну связную компоненту границы, а линии уровня гомеоморфные отрезкам. Основное отличие между ними состоит в  количестве дуг, которые принадлежат кривым границы. В случае, когда область – полоска то,  дуги две и каждая из них принадлежат одной и той же или двум разным кривым границы. Если область типа сектор, то такая дуга одна. Автором доказано ряд лемм и теорем, которые используются при доказательстве основной теоремы.