Властивості псевдогармонічної функції на замкненій області

Abstract

Нехай f - псевдогармонічна функція, яка задана на  k-зв'язній орієнтованій замкненій області D, обмеженій скінченним числом жорданових кривих. Нагадаємо, що клас псевдогармонічних функцій співпадає з класом неперервних функцій таких, що у внутрішності області міститься скінченне число критичних точок, кожна з яких є сідловою, а звуження функції на її межу має скінченне число локальних екстремумів.

В даній статті доведено, що замикання кожної зв'язної компоненти сім'ї, яка є різницею області D та тих зв'язних компонент ліній рівня критичних та напіврегулярних значень функції f, які містять критичні та межові критичні точки, є замкненою областю одного з трьох типів (кільце, смужка чи сектор). Перший тип характеризується тим, що межа області складається з двох зв'язних компонент, які не мають спільних точок з межовими кривими, а всі лінії рівня у її внутрішності гомеоморфні колам. Другий та третій типи областей мають одну зв'язну компоненту межі, а всі лінії рівня у їх внутрішності гомеоморфні відрізкам. Різниця між ними полягає у кількості дуг, що належать межовим кривим. У випадку області типу смужка, її межа містить дві дуги, що належать або одній і тій же межовій кривій, або різним. Якщо ж область типу сектор, то така дуга одна. Автором також доведено ряд тверджень, які використовуються при доведенні основної теореми.