Аналитическое решение задачи симметричного термонапряженного состояния толстых пластин на основе трехмерной теории упругости

Аннотация

Важное место среди задач термоупругости занимает плоская проблема теории упругости, полученная из общей трехмерной задачи, после использования гипотез плоского напряженного состояния для тонких пластин. В двухмерной постановке эта задача получила широкое распространение при исследовании влияния температурных нагрузок на напряженное состояние тонких термочувствительных пластин. В статье предложено общее трехмерное решение статической задачи термоупругости в форме, удобной для практического применения. Для его построения в ранее найденное автором общее решение уравнений Ламе через три гармонические функции добавлено частное решение неоднородного уравнения – термоупругий потенциал перемещений. Показано что использование предложенного решения позволяет удовлетворить соотношение статической трехмерной теории термоупругости и краевые условия и построить замкнутую систему уравнений в частных производных на введенные двухмерные функции без использования гипотез о плоском напряженном состоянии пластины. Термоупругое напряженное состояние толстой или тонкой пластины разделено на две части: первая учитывает тепловое воздействие, вызванное внешним нагревом и внутренними источниками тепла; вторая определяется симметричной силовой нагрузкой. Термоупругие напряжения выражены через деформации и известную температуру. Использовано представление трехмерного термоупругого напряженно-деформированного состояния и точно удовлетворены нулевые краевые условия на внешних плоских поверхностях пластины. Это позволило показать, что введенные двухмерные функции будут гармоническими. После интегрирования по толщине пластины вдоль нормали к срединной поверхности выражено нормальные и сдвигающие усилия через три неизвестные двухмерные функции. Трехмерное напряженное состояние симметрично нагруженной термочувствительной пластины упрощено к двухмерному состоянию. Для этого использовали только гипотезу, что перпендикулярные срединной поверхности нормальные напряжения незначительны по сравнению с продольными и поперечными напряжениями. Перемещение и напряжения в пластине выражено через две двухмерные гармонические функции и частное решение, которое определяется заданной температурой на поверхностях пластины. Введенные гармонические функции определяются из краевых условий на боковой поверхности толстой пластины. Предложенная методика позволяет решение трехмерных краевых задач для толстых термочувствительных пластин свести к двухмерному случаю.