В’язкопружний стан анізотропної плити з поодиноким еліптичним включенням

Аннотация

Розв’язано задачу лінійної в’язкопружності для нескінченної анізотропної плити з еліптичним пружним включенням, що перебуває в умовах ідеального механічного контакту з плитою-матрицею. Для отримання розв’язку застосовано метод малого параметра, де як параметр обрано зміну коефіцієнтів Пуассона у часі, що дозволило звести часову задачу до послідовності аналогічних крайових задач теорії пружності. Побудова розв’язку ґрунтується на використанні апарату комплексних потенціалів, методів конформних відображень і розкладів функцій у ряди Лорана. Для задоволення граничних умов на контурі контакту використано узагальнений метод найменших квадратів, що забезпечує високу точність визначення невідомих сталих у будь-який момент часу. У роботі наведено аналітичні вирази для згинальних моментів і перерізувальних сил у плиті, що явно містять часові оператори в’язкопружності. Для випадку, коли еліптичне включення вироджується у прямолінійну пружну лінію, виведено формули обчислення коефіцієнтів інтенсивності моментів у його кінцях. Запропонований підхід дозволяє коректно описати еволюцію сингулярної поведінки моментів й оцінити вплив властивостей матеріалу на їхню зміну у часі. Проведено числові дослідження для плит із матеріалів із різними релаксаційними властивостями за різних значень відносної жорсткості включення. Встановлено, що найбільш інтенсивний перерозподіл моментів відбувається на початковому етапі в’язкопружного процесу, після чого напружений стан плити наближується до стаціонарного. Доведено, що концентрація моментів нелінійно залежить від жорсткості включення: вона мінімальна при середніх значеннях жорсткості і різко зростає у випадках отворів або абсолютно жорстких включень. Ізотропні плити розглянуто як окремий випадок анізотропних, що дозволяє поширити отримані результати на великий клас задач механіки композитів і прогнозування їхньої довготривалої міцності.