Адаптивне кусочно-лінійне наближення важкообчислювальних функцій

Анотація

Розв'язання багатьох теоретичних і прикладних задач вимагає одні функціональні залежності заміняти іншими, більш зручними для реалізації конкретної математичної задачі. При цьому інформація про характер вихідної функції може бути недостатньою, а сама функція належати до важкообчислювальних. Точність такої апроксимації залежить від застосовуваних методів, характеру вихідної функції, а також від кількості й вибору вузлів сітки. Простіше всього така апроксимація будується на рівномірній сітці вузлів, що не завжди забезпечує прийнятний результат. Метою статті є розробка ефективних адаптивних методів апроксимації функцій для задач пошуку довжин кривих й обчислення інтегралів в умовах обмеженої інформації про характер самої функції й наявності її похідних. У роботі пропонується адаптивний підхід до апроксимації широкого класу одновимірних функцій. Для апроксимації використовується кусково-лінійне наближення із простим механізмом експонентного адаптивного керування кроковим процесом зі зворотним зв'язком. Можливості такого підходу розглянуті на задачах обчислення довжини кривих і значень визначених інтегралів. Для кожного випадку докладно викладені особливості застосування розробленого підходу. Він не вимагає завдання початкового розподілу вузлів. Метод забезпечує необхідну точність в автоматичному режимі. Результат реалізується за один прохід без будь-яких попередніх перетворень. Вірогідність отриманих результатів підтверджується розв'язанням відомих тестових прикладів. Наведено дані розрахунку ряду визначених інтегралів з різним характером підінтегральної функції. Результати розрахунку запропонованим методом порівнюються з даними, отриманими звичайним методом трапецій. Установлено високу ефективність запропонованого підходу. Запропонований метод відкриває шлях до створення ефективних засобів для розв'язання задач чисельного інтегрування та диференціювання, для розв’язання інтегральних і диференціальних рівнянь і т.п.