Математичне моделювання згину ізотропних та анізотропних плит з еліптичними та лінійними включеннями

Анотація

Розв’язано задачу теорії згину тонких плит для нескінченної анізотропної плити з еліптичним або лінійним пружним включенням, вставленим в отвір без попереднього натягу й з умовами ідеального механічного контакту з плитою-матрицею. Для отримання розв’язку використано апарат узагальнених комплексних потенціалів, розклади функцій у ряди Лорана й за многочленами Фабера, а також метод конформних відображень для переходу від зовнішності одиничного кола до зовнішності еліпса. У роботі наведено точне аналітичне розв’язання задачі для випадку еліптичного включення й отримано вирази для згинальних моментів і поперечних сил як у плиті-матриці, так і у включенні. Для випадку, коли еліптичне включення вироджується у лінійне, виведено формули для обчислення коефіцієнтів інтенсивності моментів (КІМ) у його кінцях. Запропонований підхід дозволяє коректно описати сингулярну поведінку згинальних моментів й оцінити умови, за яких КІМ мають істотні значення. Проведено числові дослідження для плит з ізотропного (КАСТ–В) й анізотропного (склопластик косокутного намотування) матеріалів за різних значень відносної жорсткості включення і співвідношення його півосей. Встановлено, що зменшення жорсткості включення призводить до зростання згинальних моментів у певних зонах контакту з плитою, причому концентрація моментів в анізотропних плитах вища, ніж в ізотропних. Показано, що для лінійного включення великі значення КІМ спостерігаються лише у випадках суттєво жорстких або м’яких включень; при близьких жорсткостях плити і включення (менш ніж у декілька разів) КІМ майже зникають, а отже, вести мову про сингулярності моментів у таких випадках некоректно. Ізотропні плити розглянуто як окремий випадок анізотропних, що дозволяє поширити отримані результати на великий клас технічних задач механіки композитів і конструкцій із вставними елементами.