Обчислення швидкостей і векторів поляризації в слабоанізотропних середовищах
DOI:
https://doi.org/10.24028/gzh.v43i3.236381Ключові слова:
фазова швидкість, групова швидкість, вектор поляризації, рівняння Крістофеля, теорія збуреньАнотація
Для обчислення квадратів фазових швидкостей у слабоанізотропних середовищах запропоновано перетворити матрицю Крістофеля K у пристосовану систему координат, а потім до отриманої матриці X застосувати теорію збурень. Для слабоанізотропного середовища недіагональні елементи матриці X малі порівняно з діагональними і два з них дорівнюють нулю. Діагональні елементи матриці X є початковими наближеннями квадратів фазових швидкостей. Для їх уточнення запропоновано використовувати ітераційні схеми або розкладання в ряди Тейлора. Початкові члени рядів і формули ітераційних схем, які виражені через елементи матриці X, мають компактний аналітичний вигляд. Непарні члени рядів дорівнюють нулю. Для апроксимації фазових швидкостей S1- і S2-хвиль запропоновано стійкий метод, заснований на розв’язанні квадратного рівняння, коефіцієнти якого виражають через елементи матриці X і попередньо розраховане значення квадрата фазової швидкості qP-хвилі. Для всіх ітераційних схем і рядів виведено умови збіжності. Вектор поляризації хвилі з квадратом фазової швидкості λ визначено як стовпчик з максимальним модулем приєднаної матриці до K-λΙ. Вектори групових швидкостей розраховуються на основі відомих компонент векторів поляризації, напрямного вектора, а також нормалізованих коефіцієнтів пружності. Точність обчислень продемонстровано на стандартній моделі орторомбічного середовища. Показано, як теорію збурень можна застосувати для середовищ, які не є слабоанізотропними. Для цього до матриці Крістофеля спочатку потрібно застосувати декілька QR-перетворень або поворотів Якобі, а потім використати формули теорії збурень. Цей спосіб з чотирма поворотами Якобі застосований до обчислення квадратів фазових швидкостей для триклинного середовища з максимальною кількістю сингулярних точок 32. Фазові швидкості обчислені з відносною похибкою менш як 0,004 %.
Посилання
Bronstein, I. N., & Semendyaev, K. A. (1986). Handbook of mathematics. Moscow: Nauka, 545 p. (in Russian).
Kato, T. (1972). Perturbation theory for linear operators. Moscow: Mir, 740 p. (in Russian).
Madelung, E. (1968). Mathematical tools for the physicist. Moscow: Nauka, 604 p. (in Russian).
Parlett, B. (1983). The symmetric eigenvalue problem. Moscow: Mir, 384 p. (in Russian).
Petrashen, G. I. (1980). Wave propagation in anisotropic elastic media. Leningrad: Nauka, 280 p. (in Russian).
Roganov, Yu., Stovas, A., & Roganov, V. (2020). Dispersion of phase velocities in horizontally layered anisotropic weak contrast periodic media. Geofizicheskiy Zhurnal, 42(3), 109—126. https://doi.org//10.24028/gzh.0203-3100.v42i3.2020.204704 (in Russian).
Roganov, Yu., Stovas, A., & Roganov, V. (2019). Propeties of acoustic axes in triclinic media. Geofizicheskiy zhurnal, 41(3), 3—17. https://doi.org//10.24028/gzh.0203-3100.v41i3.2019.172417 (in Russian).
Samarskiy, A. A. (1987). Introduction to numerical methods. Moscow: Nauka, 271 p. (in Russian).
Wilkinson, J. H. (1970). The algebraic eigenvalue problem. Moscow: Nauka, 564 p. (in Russian).
Fedorov, F. I. (1965). Theory of elastic waves in crystals. Moscow: Nauka, 386 p. (in Russian).
Horn, R., Johnson, C. (1989). Matrix analysis. Moscow: Mir, 655 p. (in Russian).
Abedi, M. M. & Stovas, A. (2019). Extended gene¬ra¬lized non-hyperbolic moveout approxima¬ti¬on. Geophysical Journal International, 216(2), 1428—1440. https://doi.org/10.1093/gji/ ggy504.
Červeny, V. (2005). Seismic Ray Theory. Prague: Charles University, 724 p.
Farra, V. (2004). Improved first-order approximation of group velocities in weakly anisotro¬pic Media. Studia Geophysica et Geodeti¬ca, 48, 199—213. https://doi.org/10.1023/B:SGEG. 0000015592.36894.3b.
Farra, V. (2005a). High order expressions of the phase velocity and polarization of qP and qS waves in anisotropic media. Geophysical Journal International, 147(1), 93—105. https://doi.org/10.1046/j.1365-246X.2001.00510.x.
Farra, V. (2005b). First-order ray tracing for qS waves in inhomogeneous weakly anisotropic me¬dia. Geophysical Journal International, 161(2), 309—324. https://doi.org/10.1111/j. 1365-246X.2005.02570.x.
Farra, V. & Pšenčík, I. (2003). Properties of the zero-, first- and higher-order approximations of attributes of elastic waves in weakly anisotropic media. Journal of the Acoustical Society of America, 114, 1366—1378. https://doi.org/10.1121/1.1591772.
Farra, V., Pšenčík, I. & Jílek, P. (2016). Weak-anisotropy moveout approximations for P-waves in homogeneous layers of monoclinic or higher anisotropy symmetries. Geophysics, 81(2), C39—C59. https://doi.org/10.1190/geo2015-0223.1.
Jech, J. & Pšenčík, I. (1989). First-order perturbation method for anisotropic media. Geophysical Journal International, 99(2), 369—376. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1989.tb01694.x.
Ohanian, V., Syder, T. M. & Carcione, J. (2006) Weak Elastic Anisotropy by Perturbation Theory. Geophysics, 71(3), D45D58. https://doi.org/10.1190/1.2194520.
Pšenčík, I. & Gajewski, D. (1998). Polarization, phase velocity and NMO velocity of qP wa¬ves in arbitrary weakly anisotropic media. Geo¬physics, 63(5), 1754—1766 https://doi.org/10. 1190/1.1444470.
Pšenčík, I. & Farra, V. (2005). First-order ray tracing for qP waves in inhomogeneous weakly anisotropic media. Geophysics, 70(10), D65—D75. https://doi.org/10.1190/1.2122411.
Roganov, Yu., & Stovas, A. (2014). Low-frequency normal wave propagation in a periodically layered medium with weak contrast in elastic properties. Geophysical Prospecting, 62(4), 1205—1210. https://doi.org/10.1111/1365-2478.12167.
Roganov, Yu., Stovas, A., & Roganov, V. (2019). Low-frequency layer-induced dispersion in a weak contrast vertically heterogeneous orthorhombic medium. Geophysical Prospecting, 67(9), 2269—2279. https:// doi.org/10.1111/1365-2478.12804.
Rommel, B. E. (1994). Approximate polarization of plane waves in a medium having weak transverse isotropy: Geophysics, 59, 1605—1612. https://doi.org/10.1190/1.1443549.
Schoenberg, M., & Helbig, K. (1997). Orthorhombic media: Modeling elastic wave behavior in a vertically fractured earth. Geophysics, 62(6), 19541974. https://doi.org/10.1190/1.1444297.
Smith, O. K. (1961). Eigenvalues of a Symmetric 3×3 Matrix. Communications ACM, 4, 168. http://dx.doi.org/10.1145/355578.366316.
Stovas, A. & Fomel, S. (2017). The generalized moveout approximation: a new parameter selection, Geophysical Prospecting, 65(3), 687695. https://doi.org/10.1111/1365-2478.12445.
Stovas, A. & Fomel, S. (2019). Generalized velocity approximation, Geophysics, 84(1), C27C40. https://doi.org/10.1190/geo2018-0401.1.
Stovas, A., Roganov, Yu. & Roganov, V. (2021). Waves in elliptical orthorhombic model. Geophysics (aссepted).
Thomsen, L. (1986). Weakly Elastic Anisotropy. Geophysics, 51, 19541966. https://doi.org/10.1190/1.1442051.
Vavryčuk, V. (2005). Acoustic axes in triclinic anisotropy. The Journal of the Acoustical Society of America, 118, 647653. http://dx.doi.org/10.1121/1.1954587.
Wang, Y., Nemeth, T. & Langan, R. (2006). An expanding-wavefront method for solving the eikonal equations in general anisotropic media. Geophysics, 51, T129T135. https://doi.org/10.1190/1.2235563.
Xu, S., Stovas, A. & Hao, Q. (2017). Perturbation-based moveout approximation in anisotropic media, Geophysical Prospecting, 65(5), 12181230. https://doi.org/10.1111/1365-2478. 12480.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
1. Автори зберігають за собою авторські права на роботу і передають журналу право першої публікації разом з роботою, одночасно ліцензуючи її на умовах Creative Commons Attribution License, яка дозволяє іншим поширювати дану роботу з обов'язковим зазначенням авторства даної роботи і посиланням на оригінальну публікацію в цьому журналі .
2. Автори зберігають право укладати окремі, додаткові контрактні угоди на не ексклюзивне поширення версії роботи, опублікованої цим журналом (наприклад, розмістити її в університетському сховищі або опублікувати її в книзі), з посиланням на оригінальну публікацію в цьому журналі.
3. Авторам дозволяється розміщувати їх роботу в мережі Інтернет (наприклад, в університетському сховище або на їх персональному веб-сайті) до і під час процесу розгляду її даними журналом, так як це може привести до продуктивної обговоренню, а також до більшої кількості посилань на дану опубліковану роботу (Дивись The Effect of Open Access).
