Построение геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболой, в задачах размещения геометрических объектов

Аннотация

В настоящее время значительно возрастает интерес к практическим задачам математического моделирования размещения геометрических объектов различной физической природы в заданных областях. При решении таких задач возникает необходимость в построении их математических моделей, которые реализуются через построение аналитических условий отношений размещаемых объектов и областей размещения. Задача построения условий взаимного непересечения произвольно ориентированных объектов, границы которых образованы кривыми второго порядка, имеет широкое применение на практике и в то же время исследована значительно меньше, чем аналогичная задача для более простых объектов. Плодотворным и отработанным методом представления таких условий является построение Φ-функций и квази-Φ-функций. В настоящей статье в качестве геометрических объектов рассматриваются эллипс и область, ограниченная параболой. Границы рассматриваемых объектов допускают как неявное, так и параметрическое представление. Предлагаемый подход к моделированию геометрических отношений эллипсов и областей, ограниченных параболами, основан на преобразовании координат, приведении уравнения эллипса к уравнению круга с использованием канонического преобразования. В частности, построены условия включения эллипса в область, ограниченную параболой, а также условия их взаимного непересечения. Построение условий взаимоотношений рассматриваемых геометрических объектов осуществлено на основе канонических уравнений эллипса и параболы с учётом их параметров размещения, включая повороты. Эти условия представлены в виде системы неравенств, а также в виде единого аналитического выражения. Представленные условия могут быть использованы при построении адекватных математических моделей оптимизационных задач размещения соответствующих геометрических объектов для аналитического описания областей допустимых решений. Эти модели могут использоваться далее в формулировке математических моделей задач упаковки и раскроя, расширяя круг объектов и/или повышая точность и снижая время получения решения задачи.