Решение обратной задачи по идентификации тензора теплопроводности в анизотропных материалах

Аннотация

На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации тензора теплопроводности в двухмерной области. Такие задачи заменяются на задачи по идентификации главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации главных осей, а главные коэффициенты аппроксимируются кубическими сплайнами Шёнберга. В результате задача сводится к определению неизвестных коэффициентов в этих аппроксимациях и угла ориентации главных осей. При известных граничных и начальных условиях температура в области будет зависеть только от этих коэффициентов и угла ориентации. Если выразить её по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставить в функционал Тихонова, то определение приращений коэффициентов и приращения угла ориентации можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторые функции для главных коэффициентов теплопроводности и угла ориентации в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс определения этих коэффициентов. Получив векторы коэффициентов и угол ориентации в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. При проверке эффективности использования предложенного метода решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известными тензорами теплопроводности. Проанализировано влияние случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации тензора теплопроводности.