Розв’язання оберненої задачі з ідентифікації тензора теплопровідності в анізотропних матеріалах

Анотація

На основі теорії регуляризації А. М. Тихонова розроблено методику розв'язання обернених задач теплопровідності з ідентифікації тензора теплопровідності двовимірної області. Ці задачі замінюються на задачі з ідентифікациї головних коефіцієнтів та кута орієнтації головних осей, а головні коефіцієнти апроксимуються кубічними сплайнами Шьонберга. В результаті задача зводиться до визначення невідомих коефіцієнтів в цих апроксимаціях і кута орієнтації головних осей. За відомих граничних і початкових умов температура в області буде залежати тільки від цих коефіцієнтів і кута орієнтації. Якщо виразити її за формулою Тейлора для двох членів ряду і підставити в функціонал Тихонова, то визначення збільшень коефіцієнтів і збільшення кута орієнтації можна звести до розв’язання системи лінійних рівнянь щодо цих збільшень. Вибравши певний параметр регуляризації і деякі функції для головних коефіцієнтів теплопровідності і кута орієнтації як початкове наближення, можна реалізувати ітераційний процес визначення цих коефіцієнтів. Отримавши вектори коефіцієнтів і кут орієнтації в результаті збігального ітераційного процесу, можна визначити середньоквадратичну нев’язку між одержуваною температурою і температурою, яка вимірюється в результаті проведеного експерименту. Залишається підібрати параметр регуляризації таким чином, щоб ця нев’язка була в межах середньоквадратичної похибки помилки вимірювань. Під час перевірки ефективності використання запропонованого методу розв’язано ряд двомірних тестових задач для тіл з відомими тензорами теплопровідності. Проаналізовано вплив випадкових похибок вимірювань на похибка ідентифікації тензора теплопровідності.