Напряженное состояние в конечном цилиндре с круговой трещиной при нестационарном кручении

Аннотация

В статье решена осесимметричная динамическая задача по определению напряженного состояния в окрестности круговой трещины в конечном цилиндре. Нижнее основание цилиндра жестко закреплено, а верхнее нагружено тангенциальными напряжениями, которые зависят от времени. В отличие от традиционных аналитических методов, основанных на использовании интегрального преобразования Лапласа, предложенный метод заключается в разностной аппроксимации только производной по времени. Для этого используются специальным образом подобранные неравноотстоящие узлы и специальное представление решения в этих узлах. Такой подход позволяет свести исходную задачу к последовательности граничных задач для однородного уравнения Гельмгольца. Каждая такая задача решается путем применения конечных интегральных преобразований Фурье и Ханкеля, с последующим их обращением. В результате было получено интегральное представление для углового перемещения через неизвестный скачок этого перемещения в плоскости трещины. Относительно производной этого скачка из граничного условия на трещине получено интегральное уравнение, которое в результате применения интегрального оператора Вебера-Сонина и ряда преобразований сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции, связанной со скачком. Приближенное решение этого уравнения осуществлено методом коллокаций, причем интегралы приближали квадратурными формулами Гаусса-Лежандра. Найденное численное решение дало возможность получить приближенную формулу для расчета коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Воспользовавшись этой формулой, провели исследование влияния характера нагрузки и геометрических параметров цилиндра на временную зависимость этого коэффициента. Анализ результатов показал, что при всех рассмотренных видах нагружения максимум значений КИН наблюдается во время переходного процесса. При приложении внезапной постоянной нагрузки этот максимум в 2–2,5 раза превышает статическое значение. При внезапной гармоничной нагрузке максимум КИН тоже значительно превышает значения, которые он приобретает при установившихся колебаниях, при отсутствии резонанса. Увеличение высоты цилиндра и уменьшение площади трещины приводят к увеличению продолжительности переходного процесса и уменьшению величины максимума КИН. Тот же эффект наблюдается, когда плоскость трещины приближается к неподвижному концу цилиндра.