Напружений стан у скінченному циліндрі з круговою тріщиною за нестаціонарного крутіння

Анотація

У статті розв’язана вісесиметрична динамічна задача з визначення напруженого стану в околі кругової тріщини в скінченному циліндрі. Нижня основа циліндра жорстко закріплена, а верхня навантажена тангенціальними напруженнями, які залежать від часу. На відміну від традиційних аналітичних методів, що ґрунтуються на використанні інтегрального перетворення Лапласа, запропонований метод полягає в різницевій апроксимації тільки похідної за часом. Для цього використовуються спеціальним чином підібрані нерівновіддалені вузли та спеціальне подання розв’язку в цих вузлах. Такий підхід дозволяє звести вихідну задачу до послідовності крайових задач для однорідного рівняння Гельмгольца. Кожна така задача розв’язується шляхом застосування скінченних інтегральних перетворень Фур'є і Ганкеля з подальшим їх оберненням. В результаті було отримано інтегральне подання для кутового переміщення через невідомий стрибок цього переміщення в площині тріщини. Відносно похідної цього стрибка з граничної умови на тріщині отримано інтегральне рівняння, яке в результаті застосування інтегрального оператора Вебера-Соніна і ряду перетворень зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно невідомої функції, пов'язаної зі стрибком. Наближене розв’язання цього рівняння здійснено методом колокацій, причому інтеграли наближали квадратурними формулами Гаусса-Лежандра. Знайдений числовий розв’язок дав можливість отримати наближену формулу для розрахунку коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН). Користуючись цією формулою, провели дослідження впливу характеру навантаження і геометричних параметрів циліндра на почасову залежність цього коефіцієнта. Аналіз результатів показав, що у всіх розглянутих видах навантаження максимум значень КІН спостерігається під час перехідного процесу. Під час прикладення раптового постійного навантаження цей максимум у 2–2,5 рази перевищує статичне значення. У разі раптового гармонічного навантаження максимум КІН теж значно перевищує значення, яких він набуває за усталених коливань, за відсутності резонансу. Збільшення висоти циліндра і зменшення площі тріщини призводять до збільшення тривалості перехідного процесу і зменшення величини максимуму КІН. Той самий ефект спостерігається, коли площина тріщини наближається до нерухомого кінця циліндра.