К решению геометрических обратных задач теплопроводности

Аннотация

На основе теории регуляризации А. Н. Тихонова разработана методика решения обратных задач теплопроводности по идентификации гладкой внешней границы двухмерной области при известном граничном условии. Для этого идентифицируемая гладкая граница аппроксимируется кубическими сплайнами Шёнберга, в результате чего ее идентификация сводится к определению неизвестных коэффициентов аппроксимации. При известных граничных и начальных условиях температура в теле будет зависеть только от этих коэффициентов. Выразив ее по формуле Тейлора для двух членов ряда и подставив в функционал Тихонова, задачу определения приращений коэффициентов можно свести к решению системы линейных уравнений относительно этих приращений. Выбрав некоторый параметр регуляризации и некоторую функцию, описывающую форму внешней границы, в качестве начального приближения, можно реализовать итерационный процесс. В этом процессе вектор неизвестных коэффициентов для текущей итерации будет равен сумме вектора коэффициентов на предыдущей итерации и вектора приращений данных коэффициентов, полученных в результате решения системы линейных уравнений. Получив вектор коэффициентов в результате сходящегося итерационного процесса, можно определить среднеквадратическую невязку между получаемой температурой и температурой, измеренной в результате проведенного эксперимента. Остается подобрать параметр регуляризации таким образом, чтобы эта невязка была в пределах среднеквадратичной погрешности ошибки измерений. В самой методике и путях ее реализации заключается новизна изложенного в статье материала по сравнению с подходами других авторов к решению обратных геометрических задач теплопроводности. При проверке эффективности использования предложенной методики решен ряд двухмерных тестовых задач для тел с известным расположением внешней границы. Проведен анализ влияния случайных погрешностей измерений на погрешность идентификации формы внешней границы.