Метод розв’язання геометрично нелінійних задач вигину тонких пологих оболонок складної форми

Анотація

У статті представлено новий чисельно-аналітичний метод розв’язання геометрично нелінійних задач вигину тонких пологих оболонок і пластин складної форми. Постановку задачі виконано у рамках класичної геометрично нелінійної постановки. Для лінеаризації нелінійної задачі вигину пологих оболонок і пластин використовувався метод продовження за параметром. Введено зростаючий параметр t, пов’язаний із зовнішнім навантаженням, який характеризує процес навантаження оболонки. Для варіаційної постановки лінеаризованої задачі побудовано функціонал у формі Лагранжа, заданий на кінематично можливих швидкостях переміщень. Для знаходження основних невідомих задачі нелінійного вигину оболонки (переміщення, деформації, напруження) сформульовано задачу Коші за параметром t для системи звичайних диференціальних рівнянь, що розв’язувалася методом Рунґе-Кутти-Мерсона з автоматичним вибором кроку. Початкові умови знаходяться із розв’язку задачі геометрично лінійного деформування. Праві частини диференціальних рівнянь при фіксованих значеннях параметра t, що відповідають схемі Рунґе-Кутти-Мерсона, знаходилися із розв’язку варіаційної задачі для функціонала у формі Лагранжа. Варіаційні задачі розв’язувалися методом Рітца в поєднанні з методом R-функцій, що дозволяє точно врахувати геометричну інформацію про крайову задачу і подати наближений розв’язок у вигляді формули – структури розв’язку, яка точно задовольняє всім (загальна структура) або частині (часткова структура) граничних умов. Розв’язано тестову задачу для нелінійного вигину квадратної жорстко закріпленої пластини під дією рівномірно розподіленого навантаження різної інтенсивності. Результати для прогинів і напружень, отримані за допомогою розробленого методу, порівняні з аналітичним розв’язком і розв’язком, отриманим методом скінченних елементів. Розв’язано задачу вигину жорстко закріпленої пластини складної форми. Досліджено вплив геометричної форми на напружено-деформований стан.