Знаходження умов скінченності дискретного спектра несамоспряженої моделі Фрідріхса у випадку одновимірного збурення

Анотація

Об’єктом даного дослідження є модель Фрідріхса у випадку одновимірного збурення оператора множення на незалежну змінну. Одним з найбільш проблемних місць у даній теорії є випадки, коли кількість власних значень є нескінченна. Тому важливим є знаходження умов, при яких матимемо скінченну кількість власних значень.

В даній роботі використано стандартні методи функціонального аналізу, а саме: обчислення норм операторів, знаходження спряженого оператора, обчислення норм функціоналів, обчислення резольвенти оператора з обґрунтуванням умов існування резольвенти. Традиційно, збурення оператора подано у факторизованому вигляді (тобто у вигляді добутку двох операторів, один з яких діє з основного простору у певний допоміжний простір, а інший, навпаки, з допоміжного простору в основний). Крім методів функціонального аналізу, доводилось працювати з невласними інтегралами по нескінченному проміжку. Підкреслимо, що у даній роботі також використано поняття малості по нормі та поняття малості по розмірності. В даному випадку розмірність оператора збурення є одновимірною.

Отримано таке твердження: якщо встановлено, що в інтегралі є скінченна кількість власних значень і якщо при цьому встановлено, що резольвента прямує до нуля при σ→∞, тоді на всій осі буде скінченна кількість власних значень. За рахунок накладання умови на різницю між збуренням і спряженим збуренням знаходимо скінченність спектра оператора. Завдяки тому, що маємо скінченність спектра, то отримуємо можливість працювати з виразами різної тематики. Цей факт значно спрощує всі обчислення незалежно від того, якої природи досліджувані вирази: механічної, фізичної чи іншої.

Завдяки скінченній кількості власних значень збуреного оператора отримуємо перевагу у тому, що нема потреби просумувати нескінченну кількість доданків у виразах, адже це фактично було б неможливим.