Знаходження умов скінченності дискретного спектра несамоспряженої моделі Фрідріхса у випадку одновимірного збурення
DOI:
https://doi.org/10.15587/2706-5448.2020.210775Ключові слова:
дискретний спектр, модель Фрідріхса, умова обмеженості оператора, інтегральний оператор, Гільбертів простір, компактність оператора.Анотація
Об’єктом даного дослідження є модель Фрідріхса у випадку одновимірного збурення оператора множення на незалежну змінну. Одним з найбільш проблемних місць у даній теорії є випадки, коли кількість власних значень є нескінченна. Тому важливим є знаходження умов, при яких матимемо скінченну кількість власних значень.
В даній роботі використано стандартні методи функціонального аналізу, а саме: обчислення норм операторів, знаходження спряженого оператора, обчислення норм функціоналів, обчислення резольвенти оператора з обґрунтуванням умов існування резольвенти. Традиційно, збурення оператора подано у факторизованому вигляді (тобто у вигляді добутку двох операторів, один з яких діє з основного простору у певний допоміжний простір, а інший, навпаки, з допоміжного простору в основний). Крім методів функціонального аналізу, доводилось працювати з невласними інтегралами по нескінченному проміжку. Підкреслимо, що у даній роботі також використано поняття малості по нормі та поняття малості по розмірності. В даному випадку розмірність оператора збурення є одновимірною.
Отримано таке твердження: якщо встановлено, що в інтегралі є скінченна кількість власних значень і якщо при цьому встановлено, що резольвента прямує до нуля при σ→∞, тоді на всій осі буде скінченна кількість власних значень. За рахунок накладання умови на різницю між збуренням і спряженим збуренням знаходимо скінченність спектра оператора. Завдяки тому, що маємо скінченність спектра, то отримуємо можливість працювати з виразами різної тематики. Цей факт значно спрощує всі обчислення незалежно від того, якої природи досліджувані вирази: механічної, фізичної чи іншої.
Завдяки скінченній кількості власних значень збуреного оператора отримуємо перевагу у тому, що нема потреби просумувати нескінченну кількість доданків у виразах, адже це фактично було б неможливим.
Посилання
- Ibragimova, B. M. (2014). The eigenvalues of the Friedrichs model in the one-dimensional case. The young scientist, 5, 1–3.
- Muminov, M. I., Rasulov, T. H. (2014). On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 5 (5), 619–625.
- Mamedov, K. R. oglu, Karahan, D. (2015). On an inverse spectral problem for Sturm – Liouville operator with discontinuous coefficient. Ufa Mathematical Journal, 7 (3), 119–131. doi: http://doi.org/10.13108/2015-7-3-119
- Naboko, S., Romanov, R. (2004). Spectral singularities and asymptotics of contractive semigroups. Acta Scientiarum Mathematicarum, 70, 379–403.
- Cheremnikh, E. V. (2012). A remark about calculation of the jump of the resolvent in Friedrichs’ model. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 1 (4 (55)), 37–40. Available at: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/3317
- Muminov, Z., Ismail, F., Eshkuvatov, Z., Rasulov, J. (2013). On the Discrete Spectrum of a Model Operator in Fermionic Fock Space. Abstract and Applied Analysis, 2013, 1–12. doi: http://doi.org/10.1155/2013/875194
- Muminov, M. E., Shermatova, Y. M. (2016). On finiteness of discrete spectrum of three-particle Schrödinger operator on a lattice. Russian Mathematics, 60 (1), 22–29. doi: http://doi.org/10.3103/s1066369x16010035
- Raymond, N. (2017). Bound states of the magnetic Schrodinger operator. Vol. 27. EMS Tracts in Mathematics. European Mathematical Society (EMS). Zurich, 394.
- Cheremnikh, E., Ivasyk, H., Alieksieiev, V., Kuchma, M., Brodyak, O. (2018). Construction of spectral decomposition for non-self-adjoint friedrichs model operator. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 4 (4 (94)), 6–18. doi: http://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.140717
- Diaba, F., Larribi, N., Cheremnikh, E. V. (2016). Finiteness of the point spectrum of transport operator with matricial 2x2 potential. Global Journal of pure and applied mathematics, 12 (3), 2561–2571.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2020 Evhen Cheremnikh, Halyna Ivasyk, Ihor Oleksiv
![Creative Commons License](http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png)
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.