Construction of homogeneous solutions in the torsion problem for a transversally isotropic sphere with variable elastic moduli

Sevinc Yusubova

doi:10.15587/2706-5448.2022.263238

Автор(и)

Sevinc Yusubova Lyceum named after Heydar Aliyev, Україна https://orcid.org/0000-0003-0841-2520

DOI:

https://doi.org/10.15587/2706-5448.2022.263238

Ключові слова:

завдання кручення, модулі пружності, рівняння Лежандра, проникні рішення, прикордонні рішення, крутний момент

Анотація

Об'єктом дослідження є завдання кручення для радіально-неоднорідної трансверсально-ізотропної сфери та дослідження на базі цього тривимірного напружено-деформованого стану.

Для встановлення області застосування існуючих прикладних теорій та з метою створення більш уточнених прикладних теорій неоднорідних оболонок актуальним є вивчення напружено-деформованого стану неоднорідних тіл на основі тривимірних рівнянь теорії пружності.

Розглянуто завдання кручення радіально-неоднорідної трансверсально-ізотропної незамкнутої сфери, що не містить жодного з полюсів 0 і π. Вважається, що модулі пружності є лінійними функціями від радіусу сфери. Передбачається, що бічна поверхня сфери вільна від напруги, а на конічних перерізах задані довільні напруги, що залишають сферу в рівновазі.

Сформульована крайова задача приведена до спектрального завдання. Після виконання однорідних граничних умов, заданих на бічних поверхнях сфери, одержано характеристичне рівняння щодо спектрального параметра. Побудовано відповідні рішення, що залежать від коріння характеристичного рівняння. Показано, що рішення, що відповідає першій групі коренів, є проникним, і напружений стан, що визначається цим рішенням, еквівалентно крутним моментам напруг, що діють у довільному перерізі θ=const. Рішення, відповідні зліченній множині другої групи коренів, мають характер прикордонного шару, локалізованого в конічних зрізах. У разі суттєвої анізотропії деякі прикордонні рішення слабо загасають і можуть охоплювати всю область, зайняту сферою.

На основі проведеного тривимірного аналізу отримано нові класи рішень (рішень, що мають характер прикордонного шару), які відсутні у прикладних теоріях. На відміну від ізотропної радіально-неоднорідної сфери, для трансверсально-ізотропної радіально-неоднорідної сфери з'являється слабко загасаюче прикордонне рішення, яке може проникати глибоко далеко від конічних перерізів і змінювати картину напружено-деформованого стану.

Біографія автора

Sevinc Yusubova, Lyceum named after Heydar Aliyev

Lecturer

Посилання

Birman, V., Byrd, L. W. (2007). Modeling and analysis of functionally graded materials and structures. Applied Mechanics Reviews, 60 (5), 195–215. doi: http://doi.org/10.1115/1.2777164
Tokovyy, Y., Ma, C. C. (2019). Elastic analysis of inhomogeneous solids:history and development in brief. Journal of Mechanics, 35 (5), 613–626. doi: http://doi.org/10.1017/jmech.2018.57
Love, A. E. (1927). A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge: Cambridge University Press.
Galerkin, B. G. (1942). Ravnovesie uprugoi sfericheskoi obolochki. Prikladnaia matematika i mekhanika, 6 (6), 487–496.
Lure, A. I. (1942). Ravnovesie uprugoi simmetrichno nagruzhennoi sfericheskoi obolochki. Prikladnaia matematika i mekhanika, 7 (6), 393–404.
Vilenskaia, T. V., Vorovich, I. I. (1966). Asimptoticheskoe povedenie resheniia zadachi teorii uprugosti dlia sfericheskoi obolochki maloi tolshchiny. Prikladnaia matematika i mekhanika, 30 (2), 278–295.
Mekhtiyev, M. F. (2019). Asymptotic analysis of spatial problems in elasticity. Advanced Structured Materials. Springer. doi: http://doi.org/10.1007/978-981-13-3062-9
Boev, N. V., Ustinov, Iu. A. (1985). Prostranstvennoe napriazhenno-deformirovannoe sostoianie trekhsloinoi sfericheskoi obolochki. Izv. AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 3, 136–143.
Akhmedov, N. K., Ustinov, Y. A. (2009). Analysis of the structure of the boundary layer in the problem of the torsion of a laminated spherical shell. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 73 (3), 296–303. doi: http://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2009.07.010
Ootao, Y., Ishihara, M. (2011). Transient Thermal Stress Problem of a Functionally Graded Magneto-Electro-Thermoelastic Hollow Sphere. Materials, 4 (12), 2136–2150. doi: http://doi.org/10.3390/ma4122136
Poultangari, R., Jabbari, M., Eslami, M. R. (2008). Functionally graded hollow spheres under non-axisymmetric thermo-mechanical loads. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 85 (5), 295–305. doi: http://doi.org/10.1016/j.ijpvp.2008.01.002
Eslami, M. R., Babaei, M. H., Poultangari, R. (2005). Thermal and mechanical stresses in a functionally graded thick sphere. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 82 (7), 522–527. doi: http://doi.org/10.1016/j.ijpvp.2005.01.002
Grigorenko, A. Y., Yaremchenko, N. P., Yaremchenko, S. N. (2018). Analysis of the Axisymmetric Stress–Strain State of a Continuously Inhomogeneous Hollow Sphere. International Applied Mechanics, 54 (5), 577–583. doi: http://doi.org/10.1007/s10778-018-0911-1
Akhmedov, N. K., Sofiyev, A. H. (2019). Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin hollow spheres. Thin-Walled Structures, 139, 232–241. doi: http://doi.org/10.1016/j.tws.2019.03.022
Akhmedov, N. K., Gasanova, N. S. (2020). Asymptotic behavior of the solution of an axisymmetric problem of elasticity theory for a sphere with variable elasticity modules. Mathematics and Mechanics of Solids, 25 (12), 2231–2251. doi: http://doi.org/10.1177/1081286520932363
Akhmedov, N. K., Yusubova, S. M. (2022). Investigation of elasticity problem for the radially inhomogeneous transversely isotropic sphere. Mathematical methods in the applied sciences. doi: http://doi.org/10.1002/mma.8360
Lur’e, A. I. (2005). Theory of Elasticity. Berlin: Springer.