Research of the Fučik spectrum for the (p,q)-Laplacian operator by min-max theory

Selma Hadjer Djeffal; Aissa Benselhoub

doi:10.15587/2706-5448.2023.277565

Автор(и)

Selma Hadjer Djeffal Badji Mokhtar University, Алжир https://orcid.org/0000-0002-1114-4267
Aissa Benselhoub Environmental Research Center (C.R.E); INFN Frascati National Laboratories, Алжир https://orcid.org/0000-0001-5891-2860

DOI:

https://doi.org/10.15587/2706-5448.2023.277565

Ключові слова:

(p,q)-лапласовий оператор, спектр Фучика, критичне значення, теорема Люстерника-Шнірельмана, теорема Кола

Анотація

Об'єктом дослідження є спектр Фучика для (p,q)-лапласового оператора. У цій роботі введемо поняття спектра Фучика для нелінійного, неоднорідного оператора, який є (p,q)-лапласовим оператором, через дослідження наступної крайової задачі з власними значеннями:

{–∆_pu–∆_qu=λ(u⁺)^p–1–μ(u^–)^q–1 in Ω, u=0 on ∂Ω,

де Ω⊂R^N, N≥1 – обмежена відкрита підмножина з гладкою границею, а λ та μ – два дійсні параметри. Для того, щоб встановити та показати існування нетривіальних розв'язків описаної вище задачі, знайдено слабкий розв'язок енергетичного функціоналу, пов'язаний з задачею, що розглядається, комбінуючи дві основні теореми – теорії мінімуму-максимуму, а саме підхід Люстерніка-Шнірельмана (Л-Ш) і теорему Кола. Крім того, використана теорема Люстерника-Шнірельмана, щоб показати, що задача, яка розглядається, має критичне значення c_k на відповідному многовиді, який визначено пізніше в цьому рукописі. Після цього перевірено геометрію Кола, використовуючи критичну точку, пов'язану з критичним значенням c_k, і, застосовуючи теорему Кола, знайдено нове критичне значення c_n. Після цього, використовуючи критичне значення c_n, продемонстровано існування сім'ї кривих, які породжують множину спектрів Фучика (p,q)-лапласового оператора. На завершення дослідження структури множини спектра Фучика (p,q)-лапласового оператора наведемо найважливіші властивості сімейства кривих, якими є неперервність та спадання. Вирішено зосередити інтерес на вивченні спектра Фучика, оскільки його визначення є настільки ж важливим у математиці, як і в багатьох інших галузях (фізика, фізика плазми, рівняння реакції-дифузії та ін.). Можемо взяти за приклад його використання в області хвиль і коливань, де початкова точка хвилі або коливання залежить від структури та характеристик сімейства кривих, які складають спектр Фучика (p,q)-лапласового оператора.

Біографії авторів

Selma Hadjer Djeffal, Badji Mokhtar University

Posgradute Student

Laboratory of Applied Mathematics

Departement of Mathematics

Aissa Benselhoub, Environmental Research Center (C.R.E); INFN Frascati National Laboratories

PhD, Associate Researcher

Environment, Modeling and Climate Change Division;

Visitor Researcher

Посилання

Fucik, S. (1980). Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems. Dordrecht: Springer, 390.
Dancer, E. N. (1977). On the Dirichlet problem for weakly non-linear elliptic partial differential equations. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 76 (4), 283–300. doi: https://doi.org/10.1017/s0308210500019648
Gossez, J.-P., de Figueiredo, D. G. (1994). On the first curve of the Fučik spectrum of an elliptic operator. Differential and Integral Equations, 7 (5-6), 1285–1302. doi: https://doi.org/10.57262/die/1369329517
Drabek, P. (1992). Solvability and bifurcations of nonlinear equations, in Pitman Research Notes in Mathematics. Vol. 264. Harlow/New York: Longman.
Massa, E., Ruf, B. (2009). On the Fučík spectrum of the Laplacian on a torus. Journal of Functional Analysis, 256 (5), 1432–1452. doi: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2008.08.003
Cuesta, M., de Figueiredo, D., Gossez, J.-P. (1999). The Beginning of the Fučik Spectrum for the p-Laplacian. Journal of Differential Equations, 159 (1), 212–238. doi: https://doi.org/10.1006/jdeq.1999.3645
Zhang, J. (2015). The Fucík spectrum of the p-Laplacian and jumping nonlinear problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 426 (2), 935–952. doi: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.01.048
D’Agui, G., Sciammetta, A., Winkert, P. (2023). The Fucik spectrum of the p-Laplacian with no-flux boundary condition. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 69, 103736. doi: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2022.103736
Xiong, M., Yang, Z.-H., Liu, X.-Q. (2016). Sign-changing solutions for $p$-Laplacian equations with jumping nonlinearity and the Fučik spectrum. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 48 (1), 159–181. doi: https://doi.org/10.12775/tmna.2016.041
Benci, V., D’avenia, P., Fortunato, D., Pisani, L. (2000). Solitons in several space dimensions Derrick’s problem and infinitely many solutions. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 154, 297–324. doi: https://doi.org/10.1007/s002050000101
Benci, V., Fortunato, D., Pisani, L. (1998). Soliton Like Solutions of a Lorentz Invariant Equation in Dimension 3. Reviews in Mathematical Physics, 10 (3), 315–344. doi: https://doi.org/10.1142/s0129055x98000100
Benci, V., Micheletti, A. M., Visetti, D. (2001). An eigenvalue problem for a quasi-linear elliptic field equation on R. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 17, 191–211. doi: https://doi.org/10.12775/tmna.2001.013
Derrick, G. H. (1964). Comments on Nonlinear Wave Equations as Models for Elementary Particles. Journal of Mathematical Physics, 5 (9), 1252–1254. doi: https://doi.org/10.1063/1.1704233
Zeidler, E. (1985). Nonlinear Functional Analysis and its ApplicationIII: Variational Methods and Optimization. Springer Verlag, 662. doi: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5020-3