Аналітичний зв'язок між тригранником Френе напрямної кривої та тригранником Дарбу цієї ж кривої на поверхні

Анотація

Об’єктом дослідження є тригранники Френе та Дарбу.

В поточній точці напрямної кривої тригранника Френе можна однозначно побудувати три взаємно перпендикулярних одиничні орти. Орт дотичної спрямований по дотичній до кривої в поточній точці. Орт головної нормалі розташований в площині, яку утворюють три точки кривої по різні сторони від поточної при їх граничному зближенні до поточної точки. Він спрямований до центра кривини кривої. Орт бінормалі перпендикулярний до двох попередніх ортів і має напрям за правилом правої системи координат. Таким чином, рух тригранника Френе по напрямній кривій, як твердого тіла, буде визначеним.

Тригранник Дарбу теж представляє собою праву систему координат, яка рухається вздовж напрямної кривої, що лежить на поверхні. Його орт дотичної спрямований ідентично триграннику Френе, а інші орти попарно утворюють певний кут ε з ортами тригранника Френе. Це зумовлено тим, що один із ортів тригранника Дарбу є нормаллю до поверхні та утворює із бінормаллю певний кут ε. Відповідно третій орт тригранника Дарбу утворює кут ε з ортом нормалі тригранника Френе. Цей орт і орт дотичної утворюють дотичну площину до поверхні в поточній точці кривої, а відповідні орти дотичної та нормалі тригранника Френе – стичну площину кривої в цій же точці. Таким чином, при русі тригранників Френе та Дарбу по кривій із суміщеними вершинами відбувається поворот навколо спільного орта дотичної на кут ε між стичною площиною тригранника Френе та дотичною площиною до поверхні тригранника Дарбу. В окремому випадку (для плоскої кривої) ці тригранники збігаються (ε=0).

В роботі розглянуто зв'язок між тригранниками Френе та Дарбу –знаходження виразу кута ε. Розглянута і обернена задача – визначення руху тригранника Дарбу при заданій закономірності зміни кута ε. Розглянуто частковий випадок і показано, що для плоскої напрямної  кривої при ε=const множина положень орта нормалі утворює розгортну поверхню однакового нахилу твірних. Крім того, обернена задача знаходження закономірності зміни кута ε між відповідними ортами тригранників дозволяє конструювати лінійчату поверхню для гравітаційного спуску вантажу, умовно прийнятого за частинку. При цьому розглядається рівновага сил в проекціях на орти тригранників у спільній нормальній площині траєкторії. Ця рівновага залежить від кута ε.