Решение нестационарных обратных задач теплопроводности для многослойных тел на основе эффективного поиска регуляризирующего параметра

Авторы

  • Yurii M. Matsevytyi Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), Ukraine https://orcid.org/0000-0002-6127-0341
  • Volodymyr M. Sirenko Государственное предприятие «Конструкторское бюро «Южное» им. М. К. Янгеля» (49008, Украина, г. Днепр, ул. Криворожская, 3), Ukraine
  • Andrii O. Kostikov Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), Ukraine https://orcid.org/0000-0001-6076-1942
  • Mykola O. Safonov Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), Ukraine https://orcid.org/0000-0002-3951-4805
  • Valerii V. Hanchyn Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10), Ukraine https://orcid.org/0000-0001-9242-6460

Ключевые слова:

обратная задача теплопроводности, тепловой поток, термическое контактное сопротивление, метод регуляризации А. Н. Тихонова, функционал, стабилизатор, параметр регуляризации, идентификация, аппроксимация, сплайн Шёнберга третьей степени

Аннотация

В статье для получения устойчивого решения обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) применяется метод А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомые тепловой поток на границе и термическое контактное сопротивление по временной координате аппроксимируются сплайнами Шёнберга третьей степени. В качестве стабилизирующего функционала используется сумма квадратов искомой величины, её первой и второй производных. В качестве объекта исследования рассматриваются многослойные пластины или оболочки, к которым можно отнести и корпуса твердотопливных ракетных двигателей. В первом приближении задача рассматривается в одномерной нестационарной линейной постановке. Соотношение толщины оболочки к её радиусу будем считать таким, что в уравнении теплопроводности кривизной оболочки можно пренебречь и рассматривать её как плоскую пластину. Такое допущение выбрано для упрощения изложения материала и не ограничивает применимость излагаемой методики в случае осевой симметрии оболочки, а также при переводе математической модели из прямоугольной в цилиндрическую систему координат. Рассматриваются три обратные задачи. В первых двух определяются тепловые потоки в составном теле с идеальным и реальным тепловым контактом. В третьей ОЗТ при реальном тепловом контакте определяется термическое контактное сопротивление. Тепловые потоки в многослойных телах представляются в виде линейных комбинаций сплайнов Шёнберга третьей степени с неизвестными коэффициентами, которые вычисляются путём решения системы линейных алгебраических уравнений. Эта система является следствием необходимого условия минимума функционала, в основу которого положен принцип наименьших квадратов отклонения моделируемой температуры от температуры, полученной в результате теплофизического эксперимента. Для регуляризации решений ОЗТ в этом функционале в качестве слагаемого к сумме квадратов используется стабилизирующий функционал с параметром регуляризации в качестве мультипликативного множителя. Он представляет собой сумму квадратов тепловых потоков, их первых и вторых производных с соответствующими множителями. Эти множители выбираются согласно заранее известным свойствам искомого решения. Поиск регуляризирующего параметра осуществляется с помощью алгоритма, аналогичного алгоритму поиска корня нелинейного уравнения.

Биографии авторов

Yurii M. Matsevytyi, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10)

Академик НАН Украины

Volodymyr M. Sirenko, Государственное предприятие «Конструкторское бюро «Южное» им. М. К. Янгеля» (49008, Украина, г. Днепр, ул. Криворожская, 3)

Кандидат технических наук

Andrii O. Kostikov, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10)

член-корреспондент НАН Украины

Mykola O. Safonov, Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (61046, Украина, г. Харьков, ул. Пожарского, 2/10)

Кандидат физ.-мат. наук

Библиографические ссылки

Beck, J., Blakuell, B., & Sent-Kler, Ch.Jnr. (1989). Nekorrektnyye obratnyye zadachi teploprovodnosti [Ill-conditioned inverse heat conduction problems].Moscow: Mir, 312 p. (in Russian).

Matsevityy, Yu. M. (2003). Obratnyye zadachi teploprovodnosti: v 2 t. T. 1. Metodologiya. T. 2. Prilozheniya [Inverse problems of heat conduction: in 2 vols. Vol. 1. Меtodologiya. Vol. 2. Applications]. Kiyev: Naukova dumka, 408 p. (vol. 1), 392 p. (vol. 2) (in Russian).

Kozdoba, L. A. & Krukovskiy, P. G. (1982). Metody resheniya obratnykh zadach teploperenosa [Methods for solving inverse heat transfer problems]. Kiyev: Naukova Dumka, 360 p. (in Russian).

Alifanov, O. M., Artyukhin, Ye. A., & Rumyantsev S. V. (1988). Ekstremalnyye metody resheniya nekorrektnykh zadach [Extreme methods for solving ill-conditioned problems]. Мoscow: Nauka, 288 p. (in Russian).

Tikhonov, A. N. & Arsenin, V. Ya. (1975). Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for solving ill-conditioned problems]. Moscow: Nauka, 288 p. (in Russian).

Matsevityy, Yu. M. & Slesarenko A. P. (2014). Nekorrektnyye mnogoparametricheskiye zadachi teploprovodnosti i regionalno-strukturnaya regulyarizatsiya ikh resheniy [Ill-conditioned multi-parameter heat conduction problems and regional-structural regularization of their solutions]. Kiyiv: Naukova dumka, 292 p. (in Russian).

Matsevityy, Yu. M., Slesarenko, A. P., & Ganchin, V. V. (1999). Regionalno-analiticheskoye modelirovaniye i identifikatsiya teplovykh potokov s ispolzovaniyem metoda regulyarizatsii A. N. Tikhonova [Regional analytical modeling and identification of heat fluxes using the A. N. Tikhonov regularization method]. Problemy mashinostroyeniya – Journal of Mechanical Engineering, vol. 2, no. 1–2, pp. 34–42 (in Russian).

Matsevityy, Yu. M., Safonov, N. A., & Ganchin, V. V. (2016). K resheniyu nelineynykh obratnykh granichnykh zadach teploprovodnosti [On the solution of nonlinear inverse boundary value problems of heat conduction]. Problemy mashinostroyeniya – Journal of Mechanical Engineering, vol. 19, no. 1, pp. 28–36 (in Russian). https://doi.org/10.15407/pmach2016.01.028

Graham, N. Y. (1983). Smoothing with Periodic Cubic Splines. Bell System Techn. J., vol. 62, pp. 101–110. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1983.tb04381.x

Reinsch, C. H. J. (1967). Smoothing by Spline Function. Numerische Mathematik, vol. 10, pp. 77–183. https://doi.org/10.1007/BF02162161

Загрузки

Опубликован

2019-09-24

Выпуск

Раздел

Аэрогидродинамика и тепломассообмен