Решение нестационарных обратных задач теплопроводности для многослойных тел на основе эффективного поиска регуляризирующего параметра

Аннотация

В статье для получения устойчивого решения обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) применяется метод А. Н. Тихонова с эффективным алгоритмом поиска регуляризирующего параметра. Искомые тепловой поток на границе и термическое контактное сопротивление по временной координате аппроксимируются сплайнами Шёнберга третьей степени. В качестве стабилизирующего функционала используется сумма квадратов искомой величины, её первой и второй производных. В качестве объекта исследования рассматриваются многослойные пластины или оболочки, к которым можно отнести и корпуса твердотопливных ракетных двигателей. В первом приближении задача рассматривается в одномерной нестационарной линейной постановке. Соотношение толщины оболочки к её радиусу будем считать таким, что в уравнении теплопроводности кривизной оболочки можно пренебречь и рассматривать её как плоскую пластину. Такое допущение выбрано для упрощения изложения материала и не ограничивает применимость излагаемой методики в случае осевой симметрии оболочки, а также при переводе математической модели из прямоугольной в цилиндрическую систему координат. Рассматриваются три обратные задачи. В первых двух определяются тепловые потоки в составном теле с идеальным и реальным тепловым контактом. В третьей ОЗТ при реальном тепловом контакте определяется термическое контактное сопротивление. Тепловые потоки в многослойных телах представляются в виде линейных комбинаций сплайнов Шёнберга третьей степени с неизвестными коэффициентами, которые вычисляются путём решения системы линейных алгебраических уравнений. Эта система является следствием необходимого условия минимума функционала, в основу которого положен принцип наименьших квадратов отклонения моделируемой температуры от температуры, полученной в результате теплофизического эксперимента. Для регуляризации решений ОЗТ в этом функционале в качестве слагаемого к сумме квадратов используется стабилизирующий функционал с параметром регуляризации в качестве мультипликативного множителя. Он представляет собой сумму квадратов тепловых потоков, их первых и вторых производных с соответствующими множителями. Эти множители выбираются согласно заранее известным свойствам искомого решения. Поиск регуляризирующего параметра осуществляется с помощью алгоритма, аналогичного алгоритму поиска корня нелинейного уравнения.