Дослідження стійкості математичної моделі руху пов’язаних маятників

Анотація

У статті представлено дослідження динаміки коливальної дисипативної системи двох пружно пов’язаних маятників у магнітному полі. Досліджено нелінійні нормальні моди коливань маятникової системи з урахуванням опору середовища, моменту демпфування, створеного пружним елементом. Розглянуто систему з двома ступенями свободи, в якій маси маятників суттєво розрізняються, що приводить до можливості появи локалізації коливань. У наступному дослідженні співвідношення мас обрано як малий параметр. Для наближених розрахунків магнітних сил використовується апроксимація Паде, яка найбільше задовольняє експериментальним даним. Це наближення забезпечує дуже точний опис магнітного збудження. Наявність зовнішніх впливів у вигляді магнітних сил і різного типу навантажень, які існують в багатьох інженерних системах, значно ускладнює аналіз мод коливань нелінійних систем. Проведено дослідження нелінійних нормальних мод коливань у даній системі, причому одна з мод є пов’язаним режимом, а друга – локалізованою. Моди коливань побудовано методом багатьох масштабів. Вивчено як регулярну, так і складну поведінку при зміні параметрів системи. Вплив цих параметрів досліджено для малих і значних початкових кутів нахилу маятника. Аналітичний розв’язок, який базується на методі Рунге-Кутти четвертого порядку, порівняно з результатами чисельного моделювання. Початкові умови для розрахунку мод коливань визначалися аналітичним розв’язком. Чисельне моделювання, яке складається з побудови фазових діаграм, траєкторій у конфігураційному просторі й амплітудно-частотних характеристик, дозволяє оцінити динаміку системи, що може бути як регулярною, так і складною. Стійкість режимів коливань досліджено за допомогою тестів чисельного аналізу, які є реалізацією критерію стійкості Ляпунова. При цьому стійкість режимів коливань визначається шляхом оцінки ортогональних відхилень відповідних траєкторій режимів коливань у конфігураційному просторі.