Дослідження наближення функцій обмеженої варіації частинними сумами рядів Фабера-Шаудера

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.176595

Ключові слова:

функції обмеженої варіації, інтегральна метрика, модуль неперервності, система Фабера-Шаудера

Анотація

Система функцій Фабера-Шаудера була введена в 1910 році і стала першим прикладом базису в просторі функцій, неперервних на [0, 1]. Відомо низку результатів щодо властивостей рядів Фабера-Шаудера, у тому числі щодо оцінювання похибок наближення функцій поліномами та частинними сумами рядів, побудованих за системою Фабера-Шаудера. Відомо, що серед завдань теорії наближення функцій важливим є отримання нових оцінок величини наближення довільної функції деяким заданим класом функцій. Тому дослідження апроксимативних властивостей поліномів і частинних сум рядів Фабера-Шаудера становить значний інтерес для сучасної теорії апроксимації функцій.

Досліджено питання наближення функцій обмеженої варіації частинними сумами рядів, побудованих за системою функцій Фабера-Шаудера. Отримано оцінку похибки апроксимації функцій з класів функцій обмеженої варіації Cp (1≤p<∞) у метриці простору Lp за допомогою значень модуля неперервності дробового порядку ϖ2–1/p(f, t). З отриманої нерівності випливає оцінка похибки наближення неперервних функцій, яка виражена через модуль неперервності другого порядку.

Також у класі функцій Cp (1<p<∞) отримані оцінки похибок наближення функцій у метриці простору Lp за допомогою модуля неперервності дробового порядку ϖ1–1/p(f, t).

Для класів функцій обмеженої варіації KCV(2,p) (1≤p<∞) отримано оцінку похибки наближення функцій у метриці простору Lp частинними сумами рядів Фабера-Шаудера.

Таким чином, отримано низку оцінок похибок наближення функцій обмеженої варіації їх частинними сумами рядів Фабера-Шаудера. Отримані результати є новими у теорії наближення функцій. Вони певним чином узагальнюють раніше відомі результати та можуть бути використані для подальших практичних застосувань

Біографії авторів

Nikolaj Mormul`, Університет митної справи та фінансів вул. Володимира Вернадського, 2/4, м. Дніпро, Україна, 49000

Кандидат технічних наук, доцент

Кафедра прикладної математики та інформатики

Alexander Shchitov

Кандидат фізико-математичних наук, доцент

Незалежний дослідник

Посилання

  1. Faber, G. (1910). Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar. Jahresber. Deutsch. Math. Verein, 19, 104–112.
  2. Ciesielski, Z. (1959). On Haar functions and on the Schauder Basis of the Space C(0,1). Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom, 7 (4), 227–232.
  3. Ciesielski, Z. (1963). Properties of the orthonormal Franklin system. Studia Mathematica, 23 (2), 141–157. doi: https://doi.org/10.4064/sm-23-2-141-157
  4. Matveev, V. A. (1967). On Schauder system series. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 2 (3), 646–652. doi: https://doi.org/10.1007/bf01094054
  5. Loginov, A. S. (1969). Approximation of continuous functions by broken lines. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 6 (2), 549–555. doi: https://doi.org/10.1007/bf01093696
  6. Vakarchuk, S. B., Shchitov, A. N. (2006). Estimates for the error of approximation of classes of differentiable functions by Faber-Schauder partial sums. Sbornik: Mathematics, 197 (3), 303–314. doi: https://doi.org/10.1070/sm2006v197n03abeh003759
  7. Vakarchuk, S. B., Shchitov, A. N. (2014). Otsenka pogreshnosti priblizheniya funktsiy iz klassa L2∞. Materialy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii «Sovremennye problemy matematiki i ee prepodavaniya». Hudzhand, 2 (1), 38–42.
  8. Vakarchuk, S. B., Shchitov, A. N. (2015). Estimates for the error of approximation of functions in L1p by polynomials and partial sums of series in the Haar and Faber–Schauder systems. Izvestiya: Mathematics, 79 (2), 257–287. doi: https://doi.org/10.4213/im8094
  9. Volosivets, S. S. (1997). Approximation of functions of boundedp-variation by polynomials in terms of the faber-schauder system. Mathematical Notes, 62 (3), 306–313. doi: https://doi.org/10.1007/bf02360871
  10. Sargsyan, A. (2010). Nonlinear approximation with respect to the Faber-Shauder system and greedy algorithm. Armenian Journal of Mathematics, 3 (1).
  11. Grigoryan, M. G., Sargsyan, A. A. (2011). On the coefficients of the expansion of elements fromC[0, 1] space by the Faber-Schauder system. Journal of Function Spaces and Applications, 9 (2), 191–203. doi: https://doi.org/10.1155/2011/403174
  12. Grigoryan, M. G., Krotov, V. G. (2013). Luzin’s correction theorem and the coefficients of Fourier expansions in the Faber-Schauder system. Mathematical Notes, 93 (1-2), 217–223. doi: https://doi.org/10.1134/s0001434613010239
  13. Grigorian, T. M. (2013). On the unconditional convergence of series with respect to the Faber-Schauder system. Analysis Mathematica, 39 (3), 179–188. doi: https://doi.org/10.1007/s10476-013-0302-0
  14. Grigoryan, T., Grigoryan, M. (2017). On the representation of signals series by Faber-Schauder system. MATEC Web of Conferences, 125, 05005. doi: https://doi.org/10.1051/matecconf/201712505005
  15. Grigoryan, M. G., Sargsyan, A. A. (2018). The Fourier–Faber–Schauder Series Unconditionally Divergent in Measure. Siberian Mathematical Journal, 59 (5), 835–842. doi: https://doi.org/10.1134/s0037446618050087
  16. Grigoryan, M. G., Krotov, V. G. (2019). Quasiunconditional basis property of the Faber–Schauder system. Ukrainian Mathematical Journal, 71 (02), 210–219.
  17. Timofeev, E. A. (2017). The Expansion of Self-similar Functions in the Faber–Schauder System. Modeling and Analysis of Information Systems, 24 (4), 508–515. doi: https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-4-508-515
  18. Timofeev, E. A. (2017). Expansion of Self-Similar Functions in the Faber–Schauder System. Automatic Control and Computer Sciences, 51 (7), 586–591. doi: https://doi.org/10.3103/s014641161707032x
  19. Terehin, A. P. (1965). Priblizhenie funktsiy ogranichennoy p-variatsii. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika, 2, 171–187.
  20. Volosivets, S. S. (1993). Approximation of functions of bounded p-variation by means of polynomials of the Haar and Walsh systems. Mathematical Notes, 53 (6), 569–575. doi: https://doi.org/10.1007/bf01212591
  21. Tyuleneva, A. A. (2015). Approximation of Functions of Bounded p-variation by Euler Means. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 15 (3), 300–309. doi: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-3-300-309
  22. Vakarchuk, S. B., Shchitov, A. (2004). On the best approximation of functions of bounded p-variation by Haar polynomials. Vestnik Dnepropetrovskogo universiteta. Matematika, 11, 28–34.
  23. Wiener, N. (1924). The Quadratic Variation of a Function and its Fourier Coefficients. Journal of Mathematics and Physics, 3 (2), 72–94. doi: https://doi.org/10.1002/sapm19243272
  24. Golubov, B. I. (1967). Continuous functions of bounded p-variation. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1 (3), 203–207. doi: https://doi.org/10.1007/bf01098884
  25. Love, E. R. (1951). A Generalization of Absolute Continuity. Journal of the London Mathematical Society, s1-26 (1), 1–13. doi: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-26.1.1
  26. Golubov, B. I. (1968). On functions of bounded p-variation. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 2 (4), 799–819. doi: https://doi.org/10.1070/IM1968v002n04ABEH000669
  27. Terekhin, A. P. (1972). Functions of bounded p-variation with given order of modulus of p-continuity. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 12 (5), 751–755. doi: https://doi.org/10.1007/bf01099058
  28. Brudniy, Yu. A. (1974). Splayn-approksimatsiya i funktsii ogranichennoy variatsii. Doklady Akademii nauk, 215 (3), 511–513.
  29. Kel'zon, A. A. (1975). O funktsiyah ogranichennoy (m, p)-variatsii. Soobshcheniya AN GSSR, 78 (3), 533–536.
  30. Havpachev, S. K. (1962). O funktsiyah s ogranichennoy m-variatsiey. Uchenye zapiski Kabardino-Balkarskogo universiteta, 16, 65–69.
  31. Harshiladze, F. I. (1951). O funktsiyah s ogranichennym vtorym izmeneniem. Trudy Akademii nauk SSSR, 79 (2), 201–204.
  32. Haar, A. (1909). Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. Gottingen.
  33. Golubov, B. I. (1964). On Fourier series of continuous functions with respect to a Haar system. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 28 (6), 1271–1296.
  34. Schauder, J. (1927). Zur Theorie Stetiger Abbildungen in Funktionalräumen. Mathematische Zeitschrift, 26 (1), 47–65. doi: https://doi.org/10.1007/bf01475440

##submission.downloads##

Опубліковано

2019-08-21

Як цитувати

Mormul`, N., & Shchitov, A. (2019). Дослідження наближення функцій обмеженої варіації частинними сумами рядів Фабера-Шаудера. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 4(4 (100), 14–20. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.176595

Номер

Том 4 № 4 (100) (2019): Математика та кібернетика - прикладні аспекти

Розділ

Математика та кібернетика - прикладні аспекти

Ліцензія

Авторське право (c) 2019 Nikolaj Mormul`, Alexander Shchitov

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.

Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.