Розробка аналітичного методу розв’язання загального рівняння Матьє
DOI:
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.140634Ключові слова:
загальне рівняння Матьє, аналітичний метод, фундаментальні функції, характеристичний показникАнотація
Запропоновано аналітичний метод розв’язання загального диференціального рівняння Матьє в канонічній формі. Метод ґрунтується на відповідному точному розв’язку, який знайдено для довільних числових параметрів вихідного рівняння a і q. В свою чергу, точний розв’язок виражено через фундаментальні функції, які представляються рядами по степенях параметрів a і q зі змінними коефіцієнтами.
Наряду з рівнянням Матьє, розглядається також рівносильна йому система диференціальних рівнянь. Показано, що матриця Вронського, яка утворена із фундаментальних функцій рівняння, являє собою матрицант системи. Тим самим доведено, що фундаментальні функції рівняння Матьє задовольняють наперед заданим умовам у нульовій точці.
З метою розв’язання проблеми чисельної реалізації знайдених точних формул, фундаментальні функції подано степеневими рядами. Для обчислення коефіцієнтів степеневих рядів виведені відповідні рекурентні співвідношення.
У результаті досліджень отримано остаточні аналітичні формули для обчислення характеристичного показника v, визначення якого є центральною частиною будь-якої задачі, математичною моделлю якої є рівняння Матьє. Фактично встановлено пряму аналітичну залежність v від вихідних параметрів рівняння a, q. Це особливо важливо, оскільки параметр v відіграє роль індикатора таких властивостей розв’язків рівняння Матьє, як обмеженість і періодичність.
Запропонований аналітичний метод являється реальною альтернативою застосуванню наближених методів при розв’язанні будь-яких задач, що зводяться до рівняння Матьє. Наявність остаточних аналітичних формул дозволятиме у подальшому уникати процедури пошуку розв’язків рівняння. Натомість, для розв’язання задачі у кожному конкретному випадку, достатньо лише чисельно реалізувати отримані аналітичні формули
Посилання
- Mathieu, E. (1868). Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 13, 137–203.
- Bateman, H., Erdelyi, A. (1955). Higher Transcendental Functions. Vol. 3. New York, Toronto, London: MC Graw-Hill Book Company Inc., 292.
- Tisserand, F. (1894). Traite de Mecanique celeste. Vol. 3. Paris: Gauthier-Villars et fils, 347.
- Whittaker, G. N., Watson, A. (1952). Course of Modern Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 314.
- Poincare, H. (1893). Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste. Vol. 2. Paris: Gauthier-Villars et fils, 508.
- Stoker, J. J. (1950). Nonlinear Vibrations in Mechanical and Electrical Systems. New York: Interscience Publishers, 273.
- McLachlan, N. W. (1947). Theory and Applications of Mathieu Functions. Oxford: Clarendon, 401.
- Ruby, L. (1966). Applications of the Mathieu equation. American Journal of Physics, 64 (1), 39–44. doi: https://doi.org/10.1119/1.18290
- Strutt, M. J. O. (1932). Lamésche – Mathieusche – und Verwandte Funktionen in Physik und Technik. Springer. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-642-92306-7
- Ward, M. (2010). Lecture Notes on Basic Floquet Theory. Available at: http://www.emba.uvm.edu/~jxyang/teaching/
- Wolf, G. Mathieu Functions and Hill’s Equation. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF). Available at: https://dlmf.nist.gov/28
- Humphries, S. Jr. (1956). Principles of Charged Particle Acceleration. New York: John Wiley & Sons, 561.
- Sudakov, M. Y. (2000). A diagram of the stable secular motion of ions trapped in an RF quadrupole field in the presence of additional harmonic quadrupole excitation. Technical Physics Letters, 26 (10), 870–872. doi: https://doi.org/10.1134/1.1321223
- Sudakov, M., Konenkov, N., Douglas, D. J., Glebova, T. (2000). Excitation frequencies of ions confined in a quadrupole field with quadrupole excitation. Journal of the American Society for Mass Spectrometry, 11 (1), 10–18. doi: https://doi.org/10.1016/s1044-0305(99)00111-7
- Baranov, V. I. (2003). Analytical approach for description of ion motion in quadrupole mass spectrometer. Journal of the American Society for Mass Spectrometry, 14 (8), 818–824. doi: https://doi.org/10.1016/s1044-0305(03)00325-8
- Baranov, V. (2004). Ion energy in quadrupole mass spectrometry. Journal of the American Society for Mass Spectrometry, 15 (1), 48–54. doi: https://doi.org/10.1016/j.jasms.2003.09.006
- Mamontov, E. V., Kiryushin, D. V. (2012). Space-time focusing of charged particles in radio-frequency linear electric fields. Technical Physics, 57 (9), 1245–1250. doi: https://doi.org/10.1134/s1063784212090186
- Mamontov, E. V., Kiryushin, D. V., Zhuravlev, V. V. (2014). Oscillations of ions in a superposition of linear high-frequency. Technical Physics, 59 (7), 1056–1060. doi: https://doi.org/10.1134/s1063784214070202
- Pipes, L. A. (1953). Matrix Solution of Equations of the Mathieu‐Hill Type. Journal of Applied Physics, 24 (7), 902–910. doi: https://doi.org/10.1063/1.1721400
- Dawson, P. H. (Ed.) (1976). Quadrupole Mass Spectrometry and its Applications. Elsevier, 372. doi: https://doi.org/10.1016/c2013-0-04436-2
- March, R. E., Todd, J. F. J. (2005). Quadrupole Ion Trap Mass Spectrometry. John Wiley & Sons. doi: https://doi.org/10.1002/0471717983
- Konenkov, N. V., Sudakov, M., Douglas, D. J. (2002). Matrix methods for the calculation of stability diagrams in quadrupole mass spectrometry. Journal of the American Society for Mass Spectrometry, 13 (6), 597–613. doi: https://doi.org/10.1016/s1044-0305(02)00365-3
- Carrico, J. P., Price, D. (1972). Dynamic Mass Spectrometry. Vol. 2. London: Heyden & Son Ltd, 352.
- Meixner, J., Schafke, F. W., Wolf, G. (1980). Mathieu Functions and Spheroidal Functions and Their Mathematical Foundations: Further Studies. Springer-Verlag, 126. doi: https://doi.org/10.1007/bfb0096194
- Floquet, G. (1883). Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 12, 47–88. doi: https://doi.org/10.24033/asens.220
- Abramowitz, M., Stegun, I. A. (Eds.) (1964). Handbook of Mathematical Foundations with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Washington: National Bureau of Standards of Applied Mathematics, 1046.
- Coisson, R., Vernizzi, G., Yang, X. (2009). Mathieu functions and numerical solutions of the Mathieu equation. 2009 IEEE International Workshop on Open-source Software for Scientific Computation (OSSC). doi: https://doi.org/10.1109/ossc.2009.5416839
- Abramov, A. A., Kurochkin, S. V. (2007). Calculation of solutions to the Mathieu equation and of related quantities. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 47 (3), 397–406. doi: https://doi.org/10.1134/s0965542507030050
- Acar, G., Feeny, B. F. (2016). Floquet-Based Analysis of General Responses of the Mathieu Equation. Journal of Vibration and Acoustics, 138 (4), 041017. doi: https://doi.org/10.1115/1.4033341
- Prikhodko, A. A., Nesterov, A. V., Nesterov, S. V. (2016). Analysis of Mathieu Equation Stable Solutions in the First Zone of Stability. Procedia Engineering, 150, 341–346. doi: https://doi.org/10.1016/j.proeng.2016.06.715
- Kovacic, I., Rand, R., Sah, S. M. (2018). Mathieu's Equation and Its Generalizations: Overview of Stability Charts and Their Features. Applied Mechanics Reviews, 70 (2), 020802. doi: https://doi.org/10.1115/1.4039144
- Ghose Choudhury, A., Guha, P. (2014). Damped equations of Mathieu type. Applied Mathematics and Computation, 229, 85–93. doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.11.106
- Sofroniou, A., Bishop, S. (2014). Dynamics of a Parametrically Excited System with Two Forcing Terms. Mathematics, 2 (3), 172–195. doi: https://doi.org/10.3390/math2030172
- Gantmakher, F. R. (1988). Matrix theory. Moscow: Nauka, 552.
- Kuznecova, T. D., Smirnov, A. A. (1969). Tablicy harakteristicheskih pokazateley dlya uravneniya Mat'e. Moscow: Vychislitel'niy centr AN SSSR, 69.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2018 Yurii Krutii, Alexander Vasiliev
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.
Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.
