Побудова спектрального розкладу несамоспряженого оператора моделі Фрідріхса
DOI:
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.140717Ключові слова:
оператор Штурма-Ліувілля, модель Фрідріхса, перетворення Фур’є, функція Вейля, неперервний спектр, розгалуження резольвенти, максимальний операторАнотація
Подано спектральний розклад для несамоспряженої моделі Фрідріхса і наведено узагальнення відомої у самоспряженому випадку функції Вейля на несамоспряжений випадок. Встановлено, що для несамоспряженої моделі Фрідріхса довільний елемент простору можна подати як лінійну комбінацію власних елементів оператора, що відповідають точкам спектра. Побудовано спектральний розклад, тобто представлення довільного елемента простору через власні функції, що свідчить про повноту власних функцій. Це зроблено з врахуванням спектральних особливостей (тобто власних значень на неперервному спектрі) несамоспряженого оператора моделі Фрідріхса. Ця модель виступає важливим інструментом для знаходженні розв’язку звичайних диференціальних рівнянь після застосування відповідного перетворення Фур’є.
Запропоновано загальний метод побудови спектрального розкладу (тобто не прив’язаний виключно до моделі Фрідріхса), який грунтується на понятті так званого розгалуження резольвенти і який можна використовувати для довільних несамоспряжених операторів, а також і для самоспряжених операторів.
Доведено, що за умов існування максимального оператора, резольвента допускає відокремлення розгалуження. Вказані достатні умови для існування функції Вейля m(ζ) для оператора несамоспряженої моделі Фрідріхса та отримано формули для її обчислення через резольвенту.
Показано, що функція Вейля m(ζ) для самоспряженого оператора співпадає з класичною функцією Вейля у випадку оператора Штурма-Ліувілля на півосі. Наведено два приклади, в яких знайдено узагальнену функцію Вейля m(ζ) для несамоспряженої моделі Фрідріхса
Посилання
- Muminov, M. I., Lokman, C. (2017). Finiteness of discrete spectrum of the two-particle Schrӧdinger operator on diamond lattices. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 310–316. doi: https://doi.org/10.17586/2220-8054-2017-8-3-310-316
- Kukushkin, M. V. (2017). Evaluation of the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem for a differential operator of second order with fractional derivative in the junior members. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika, 6, 30–35.
- Cheremnikh, E. V. (2000). Model Friedrichs’ and problems with nonlocal boundary conditions. Mat. Methods and Fiz.-Mekh. Field, 43 (3), 145–156.
- Ibragimova, B. M. (2014). The eigenvalues of the Friedrichs model in the one-dimensional case. The young scientist, 5.
- Cheremnikh, E. (2012). A remark about calculation of the jump of the resolvent in Friedrichs’ model. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 1 (4 (55)), 37–40. Available at: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/3317
- Muminov, M. I., Rasulov, T. H. (2014). On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 5 (5), 619–625.
- Gouasmia, O., Diaba, A., Diaba, F., Cheremnikh, E. (2016). Time asymptotic behavior of exponential function of Sturm-Liouville operator on the line. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12 (6), 5233–5243.
- Behrndt, J., Langer, M., Lotoreichik, V. (2016). Boundary triples for Schrödinger operators with singular interactions on hypersurfaces. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 290–302. doi: https://doi.org/10.17586/2220-8054-2016-7-2-290-302
- Gesztesy, F., Weikard, R., Zinchenko, M. (2013). Initial value problems and Weyl-Titchmarsh theory for Schrödinger operators with operator-valued potentials. Operators and Matrices, 2, 241–283. doi: https://doi.org/10.7153/oam-07-15
- Diaba, F., Cheremnikh, E., Ivasyk, H. (2010). On time asymptotic of the solutions of transport evolution equation. Mathem. and computer modeling, 208–223.
- Naboko, S., Romanov, R. (2004). Spectral singularities and asymptotics of contractive semigroups. Acta Scientiarum Mathematicarum, 70 (1-2), 379–403.
- Mamedov, K. R. oglu, Karahan, D. (2015). On an inverse spectral problem for Sturm-Liouville operator with discontinuous coefficient. Ufimskii Matematicheskii Zhurnal, 7 (3), 119–131. doi: https://doi.org/10.13108/2015-7-3-119
- Cheremnikh, E. (2014). Branching of resolvent and Weyl function for Sturm – Liouville. Journal of Lviv Polytechnic National University. Physical and mathematical sciences.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2018 Evhen Cheremnikh, Halyna Ivasyk, Vladislav Alieksieiev, Mariia Kuchma, Oksana Brodyak
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.
Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.
