Розробка способу комп’ютерного моделювання періодичної траєкторії переміщення вантажу хитної пружини
DOI:
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.154191Ключові слова:
маятникові коливання, періодичної траєкторії руху, хитна пружина, рівняння Лагранжа другого родуАнотація
Продовжено дослідження геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажів різновидів математичних маятників. Розглядаються маятникові коливання у вертикальній площині підвішеної невагомої пружини, зберігаючої при цьому прямолінійність своєї осі. В літературі такий вид маятника називають хитною пружиною (swinging spring). Шукана траєкторія вантажу хитної пружини за допомогою комп’ютера моделюється з використанням значень маси вантажу, жорсткості пружини та її довжини в ненавантаженому стані. Крім того, використовуються такі початкові величини параметрів ініціювання коливань хитної пружини: кут відхилення осі пружини від вертикалі, швидкість зміни величини цього кута, а також параметр подовження пружини та швидкість зміни подовження. Розрахунки виконано за допомогою рівняння Лагранжа другого роду. Також розглянуто варіанти знаходження періодичних траєкторій точкового вантажу хитної пружини з рухомою (вздовж координатних осей) точкою кріплення.
Актуальність теми визначається необхідністю дослідження та удосконалення нових технологічних схем механічних пристроїв, до складу яких входять пружини. Зокрема, дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій та визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань.
Наведено спосіб знаходження значень набору параметрів для забезпечення нехаотичної періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини. Ідею способу пояснено на прикладі знаходження періодичної траєкторії руху другого вантажу подвійного маятника.
Наведено варіанти розрахунків для одержання періодичних траєкторії руху вантажу, коли задані параметри:
– жорсткість пружини та її довжина без навантаження, але невідома величина маси вантажу;
– величина маси вантажу та довжина пружини без навантаження, але невідома жорсткість пружини;
– величина маси вантажу та жорсткість пружини, але невідома довжина пружини без навантаження.
Також розглянуто знаходження значень набору параметрів для забезпечення умовно періодичної траєкторії руху точкового вантажу хитної пружини з рухомою точкою кріплення.
Побудовано фазові траєкторії функцій узагальнених координат (значень кутів відхилення осі пружини від вертикалі та подовження хитної пружини) за допомогою яких можна оцінити діапазони зазначених величин та швидкостей їх зміни.
Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. Коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів, а забезпечити періодичні траєкторії їх руху
Посилання
- De Sousa, M. C., Marcus, F. A., Caldas, I. L., Viana, R. L. (2018). Energy distribution in intrinsically coupled systems: The spring pendulum paradigm. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 509, 1110–1119. doi: https://doi.org/10.1016/j.physa.2018.06.089
- Vlasov, V. N. Velichayshaya Revolyuciya v Mekhanike 4. Available at: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/2114-vls.pdf
- Buldakova, D. A., Kiryushin, A. V. (2015). Model of the shaking spring pendulum in the history of physics and equipment. Elektronnoe nauchnoe izdanie «Uchenye zametki TOGU», 6 (2), 238–243.
- Lynch, P. (2001). The swinging spring: a simple model for atmospheric balance. Large-Scale Atmosphere-Ocean Dynamics: Vol. II: Geometric Methods and Models. Cambridge University Press, Cambridge, 50.
- Aldoshin, G. T., Yakovlev, S. P. (2015). Analiticheskaya model' kolebaniy molekuly uglekislogo gaza. Rezonans Fermi. Izv. RAN. MTT, 1, 42–53.
- Zhang, P., Ren, L., Li, H., Jia, Z., Jiang, T. (2015). Control of Wind-Induced Vibration of Transmission Tower-Line System by Using a Spring Pendulum. Mathematical Problems in Engineering, 2015, 1–10. doi: https://doi.org/10.1155/2015/671632
- Castillo-Rivera, S., Tomas-Rodriguez, M. (2017). Helicopter flap/lag energy exchange study. Nonlinear Dynamics, 88 (4), 2933–2946. doi: https://doi.org/10.1007/s11071-017-3422-4
- Bogdanov, K. Yu. (1993). Hishchnik i zhertva. Kvant, 2. Available at: http://kvant.mccme.ru/1993/02/hishchnik_i_zhertva.htm
- Gendelman, O. V. (2001). Transition of Energy to a Nonlinear Localized Mode in a Highly Asymmetric System of Two Oscillators. Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems, 237–253. doi: https://doi.org/10.1007/978-94-017-2452-4_13
- Aldoshin, G. T. (2009). Zamechaniya k metodu linearizacii nelineynyh uravneniy s dvumya stepenyami svobody. V sb. «Matematika, informatika, estestvoznanie v ekonomike i obshchestve». Trudy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferencii. Vol. 1. Moscow: MFYUF.
- Bubnovich, E. V., Moldaganapova, A. G. K voprosu ob issledovanii rezonansov pri vynuzhdennyh vzaimosvyazannyh kolebaniyah gibkoy niti. Available at: http://portal.kazntu.kz/files/publicate/%20Молдаганапова%20.pdf
- Petrov, A. G. (2015). O vynuzhdennyh kolebaniyah kachayushcheysya pruzhiny pri rezonanse. Doklady Akademii nauk, 464 (5), 553–557. doi: https://doi.org/10.7868/s0869565215290113
- Petrov, A. G., Shunderyuk, M. M. (2010). O nelineynyh kolebaniyah tyazheloy material'noy tochki na pruzhine. Izv. RAN. MTT, 2, 27–40.
- Bayly, P. V., Virgin, L. N. (1993). An Empirical Study of the Stability of Periodic Motion in the Forced Spring-Pendulum. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 443 (1918), 391–408. doi: https://doi.org/10.1098/rspa.1993.0152
- Duka, B., Duka, R. (2018). On the elastic pendulum, parametric resonance and “pumping” swings. European Journal of Physics. 2018. doi: https://doi.org/10.1088/1361-6404/aaf146
- Breitenberger, E., Mueller, R. D. (1981). The elastic pendulum: A nonlinear paradigm. Journal of Mathematical Physics, 22 (6), 1196–1210. doi: https://doi.org/10.1063/1.525030
- Dullin, H., Giacobbe, A., Cushman, R. (2004). Monodromy in the resonant swing spring. Physica D: Nonlinear Phenomena, 190 (1-2), 15–37. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.10.004
- Ryland, G., Meirovitch, L. (1977). Stability boundaries of a swinging spring with oscillating support. Journal of Sound and Vibration, 51 (4), 547–560. doi: https://doi.org/10.1016/s0022-460x(77)80051-5
- Holm, D. D., Lynch, P. (2002). Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 1 (1), 44–64. doi: https://doi.org/10.1137/s1111111101388571
- Lynch, P., Houghton, C. (2004). Pulsation and precession of the resonant swinging spring. Physica D: Nonlinear Phenomena, 190 (1-2), 38–62. doi: https://doi.org/10.1016/j.physd.2003.09.043
- Klimenko, A. A., Mihlin, Yu. V. (2009). Nelineynaya dinamika pruzhinnogo mayatnika. Dinamicheskie sistemy, 27, 51–65.
- Broucke, R., Baxa, P. A. (1973). Periodic solutions of a spring-pendulum system. Celestial Mechanics, 8 (2), 261–267. doi: https://doi.org/10.1007/bf01231426
- Hitzl, D. L. (1975). The swinging spring invariant curves formed by quasi-periodic solution. III. Astron and Astrophys, 41 (2), 187–198.
- Modelirovanie dvizheniya dvoynogo mayatnika v Dekartovoy sisteme koordinat. Available at: https://www.wolfram.com/mathematica/new-in-9/advanced-hybrid-and-differential-algebraic-equations/double-pendulum.html
- The Spring Pendulum (Optional). Available at: http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/CTLC3rdEd/ProjectsOldCD/estroyan/cd/46/index.htm
- Gavin, H. P. (2014). Generalized Coordinates, Lagrange’s Equations, and Constraints. CEE 541. Structural Dynamics. Department of Civil and Environmental Engineering Duke University, 23.
- Van der Weele, J. P., de Kleine, E. (1996). The order-chaos-order sequence in the spring pendulum. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 228 (1-4), 245–272. doi: https://doi.org/10.1016/0378-4371(95)00426-2
- File:Spring pendulum.gif. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spring_pendulum.gif
- Aldoshin, G. T., Yakovlev, S. P. (2012). Dynamics of a swinging spring with moving support. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. Astronomiya, 4, 45–52.
- Semkiv, O., Shoman, O., Sukharkova, E., Zhurilo, A., Fedchenko, H. (2017). Development of projection technique for determining the non-chaotic oscillation trajectories in the conservative pendulum systems. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 2 (4 (86)), 48–57. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.95764
- Kutsenko, L., Semkiv, O., Asotskyi, V., Zapolskiy, L., Shoman, O., Ismailova, N. et. al. (2018). Geometric modeling of the unfolding of a rod structure in the form of a double spherical pendulum in weightlessness. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 4 (7 (94)), 13–24. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.139595
- Kutsenko, L. M. Piksasov, M. M., Zapolskyi, L. L. (2018). Iliustratsiyi do statti "Heometrychne modeliuvannia periodychnoi traiektoriyi vantazhu khytnoi pruzhyny". Available at: http://repositsc.nuczu.edu.ua/handle/123456789/7637
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 Leonid Kutsenko, Oleg Semkiv, Andrii Kalynovskyi, Leonid Zapolskiy, Olga Shoman, Gennadii Virchenko, Viacheslav Martynov, Maxim Zhuravskij, Volodymyr Danylenko, Nelli Ismailova
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.
Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.
