Аналітичний метод дослідження математичної моделі хвильових процесів з двоточковими умовами за часом

Автор(и)

  • Zinovii Nytrebych Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013, Україна https://orcid.org/0000-0002-9599-8517
  • Volodymyr Ilkiv Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013, Україна https://orcid.org/0000-0001-6597-1404
  • Petro Pukach Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013, Україна https://orcid.org/0000-0002-0359-5025
  • Oksana Malanchuk Львівський національний медичний університет імені Данила Галицького вул. Пекарська, 69, м. Львів, Україна, 79010, Україна https://orcid.org/0000-0001-7518-7824
  • Ihor Kohut Національний університет «Львівська політехніка» вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013, Україна https://orcid.org/0000-0003-3859-1355
  • Andriy Senyk Національна академія сухопутних військ імені гетьмана Петра Сагайдачного вул. Героїв Майдану, 32, м. Львів, Україна, 79012, Україна https://orcid.org/0000-0002-1614-512X

DOI:

https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.155148

Ключові слова:

коливальні системи, математичні моделі хвильових процесів, диференціально-символьний метод, двоточкова задача, хвильове рівняння

Анотація

Дослідження та аналіз динамічних процесів у коливальних системах тісно зв’язані зі встановленням точних або наближених аналітичних розв’язків задач математичної фізики, які моделюють такі системи. Математичні моделі поширення хвиль у коливальних системах за певних початкових умов у фіксований момент часу є добре відомими в літературі. Однак хвильові процеси у довгомірних конструкціях за умови дії лише зовнішньої сили і заданих станів процесу у два моменти часу є мало вивченими. Такі процеси змодельовано двоточковою за часом задачею для неоднорідного хвильового рівняння в необмеженій області t>0, x∈ℝs. У моделі враховано задання лінійної комбінації невідомої амплітуди коливань та швидкості її зміни у два моменти часу. Двоточкова задача загалом є некоректною крайовою задачею, оскільки відповідна однорідна задача має нетривіальні розв’язки. Встановлено клас квазіполіномів як клас існування єдиного розв’язку задачі. Цей клас не містить нетривіальних елементів ядра задачі, що забезпечує єдиність розв’язку задачі. У вказаному класі запропоновано точний метод побудови розв’язку. Суть методу полягає в тому, що розв’язок задачі зображається у вигляді дії диференціального виразу, символом якого є права частина рівняння, на деяку функцію параметрів. Функція спеціальним чином конструююється за рівнянням та двоточковими умовами і має особливості, пов’язані з нулями знаменника – характеристичного визначника задачі.

Метод проілюстровано для опису коливальних процесів нескінченної струни та мембрани.

Головним практичним застосуванням розробленого методу є можливість адекватного математичного моделювання коливальних систем, яке враховує можливість керування параметрами системи. Таке керування параметрами дозволяє здійснювати оптимальний синтез та проектування параметрів відповідних технічних систем з метою аналізу та врахування особливостей динамічних режимів коливань

Біографії авторів

Zinovii Nytrebych, Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013

Доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри

Кафедра вищої математики

Volodymyr Ilkiv, Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013

Доктор фізико-математичних наук, професор

Кафедра вищої математики

Petro Pukach, Національний університет “Львівська політехніка” вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013

Доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри

Кафедра обчислювальної математики та програмування

Oksana Malanchuk, Львівський національний медичний університет імені Данила Галицького вул. Пекарська, 69, м. Львів, Україна, 79010

Кандидат фізико-математичних наук

Кафедра біофізики

Ihor Kohut, Національний університет «Львівська політехніка» вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013

Кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кафедра обчислювальної математики та програмування

Andriy Senyk, Національна академія сухопутних військ імені гетьмана Петра Сагайдачного вул. Героїв Майдану, 32, м. Львів, Україна, 79012

Кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кафедра інженерної механіки (озброєння та техніки інженерних військ)

Посилання

  1. Pukach, P., Il’kiv, V., Nytrebych, Z., Vovk, M. (2017). On nonexistence of global in time solution for a mixed problem for a nonlinear evolution equation with memory generalizing the Voigt-Kelvin rheological model. Opuscula Mathematica, 37 (45), 735. doi: https://doi.org/10.7494/opmath.2017.37.5.735
  2. Chaban, A. (2008). Matematychne modeliuvannia kolyvnykh protsesiv v elektromekhanichnykh systemakh. Lviv: Vydavnytstvo Tarasa Soroky, 328.
  3. Pukach, P. Ya., Kuzio, I. V. (2015). Resonance phenomena in quasi-zero stiffness vibration isolation systems. Naukovyi Visnyk Natsіonalnoho Hіrnychoho Unіversytetu, 3, 62–67.
  4. Bondarenko, V. I., Samusya, V. I., Smolanov, S. N. (2005). Mobil'nye pod'emnye ustanovki dlya avariyno-spasatel'nyh rabot v shahtnyh stvolah. Gorniy zhurnal, 5, 99–100.
  5. Samusya, V., Oksen, Y., Radiuk, M. (2013). Heat pumps for mine water waste heat recovery. Mining of Mineral Deposits, 153–157. doi: https://doi.org/10.1201/b16354-27
  6. Bayat, M., Pakar, I., Bayat, M. (2014). Approximate analytical solution of nonlinear systems using homotopy perturbation method. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part E: Journal of Process Mechanical Engineering, 230 (1), 10–17. doi: https://doi.org/10.1177/0954408914533104
  7. Magrab, E. B. (2014). An Engineer’s Guide to Mathematica. John Wiley and Sons, 452.
  8. Friedman, A. (2011). Partial differential equation. New York: Dover Publications, 272.
  9. Pinchover, Y., Rubinstein, J. (2005). An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 385. doi: https://doi.org/10.1017/cbo9780511801228
  10. Nytrebych, Z. M., Malanchuk, O. M., Il'kiv, V. S., Pukach, P. Ya. (2017). Homogeneous problem with two-point conditions in time for some equations of mathematical physics. Azerbaijan Journal of Mathematics, 7 (2), 180–196.
  11. Nytrebych, Z., Il’kiv, V., Pukach, P., Malanchuk, O. (2018). On nontrivial solutions of homogeneous Dirichlet problem for partial differential equations in a layer. Kragujevac Journal of Mathematics, 42 (2), 193–207. doi: https://doi.org/10.5937/kgjmath1802193n
  12. Malanchuk, O., Nytrebych, Z. (2017). Homogeneous two-point problem for PDE of the second order in time variable and infinite order in spatial variables. Open Mathematics, 15 (1). doi: https://doi.org/10.1515/math-2017-0009
  13. Ptashnyk, B. Y. (1967). Zadacha typu Valle-Pussena dlia hiperbolichnykh rivnian iz stalymy koefitsientamy. Dop. AN URSR. Ser. A, 10, 1254–1257.
  14. Ptashnyk, B. Y. (1967). N-liniyna zadacha dlia hiperbolichnykh rivnian iz stalymy koefitsientamy. Visnyk Lvivskoho politekhnichnoho instytutu, 16, 80–87.
  15. Ptashnik, B. I. (1984). Nekorrektnye granichnye zadachi dlya differenci-al'nyh uravneniy s chastnymi proizvodnymi. Kyiv: Naukova dumka, 264.
  16. Ptashnik, B. I., Salyga, B. O. (1984). An analog of the multipoint problem for partial differential equations with variable coefficients. Ukrainian Mathematical Journal, 35 (6), 628–635. doi: https://doi.org/10.1007/bf01056224
  17. Il’kiv, V. S., Nytrebych, Z. M., Pukach, P. Y. (2016). Boundary-value problems with integral conditions for a system of Lamé equations in the space of almost periodic functions. Electronic Journal of Differential Equations, 304, 1–12.
  18. Ptashnyk, B. I., Symotyuk, М. М. (2003). Multipoint Problem with Multiple Nodes for Partial Differential Equations. Ukrainian Mathematical Journal, 55 (3), 481–497. doi: https://doi.org/10.1023/a:1025881429063
  19. Ptashnyk, B. I., Symotyuk, М. М. (2003). Multipoint Problem for Nonisotropic Partial Differential Equations with Constant Coefficients. Ukrainian Mathematical Journal, 55 (2), 293–310. doi: https://doi.org/10.1023/a:1025468413500
  20. Borok, V. M. (1968). Klassy edinstvennosti resheniya kraevoy zadachi v beskonechnom sloe. DAN SSSR, 183 (5), 995–998.
  21. Borok, V. M., Perel'man, M. A. (1973). Unique solution classes for a multipoint boundary value problem in an infinite layer. Izv. vuzov. Matematika, 8, 29–34.
  22. Borok, V. M. (1969). Uniqueness classes for the solution of a boundary problem with an infinite layer for systems of linear partial differential equations with constant coefficients. Mathematics of the USSR-Sbornik, 8 (2), 275–285. doi: https://doi.org/10.1070/sm1969v008n02abeh001120
  23. Vilents, I. L. (1974). Klasy yedynosti rozviazku zahalnoi kraiovoi zadachi v shari dlia system liniynykh dyferentsialnykh rivnian u chastynnykh pokhidnykh. Dop. AN URSR. Ser. А., 3, 195–197.
  24. Vallee-Poussin, Ch. J. (1929). Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordre n. Journ. Math. de pura et appl., 8, 125–144.
  25. Picone, M. (1910). On the exceptional values of a parameter on which an ordinary linear differential equation of the second order depends. Pisa: Scuola Normale Superiore, 144.
  26. Agarwal, R. P., Kiguradze, I. (2004). On multi-point boundary value problems for linear ordinary differential equations with singularities. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 297 (1), 131–151. doi: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.05.002
  27. Akram, G., Tehseen, M., Siddiqi, S. (2013). Solution of a Linear Third order Multi-Point Boundary Value Problem using RKM. British Journal of Mathematics & Computer Science, 3 (2), 180–194. doi: https://doi.org/10.9734/bjmcs/2013/2362
  28. Graef, J. R., Kong, L., Kong, Q. (2010). Higher order multi-point boundary value problems. Mathematische Nachrichten, 284 (1), 39–52. doi: https://doi.org/10.1002/mana.200710179
  29. Gupta, C. P., Trofimchuk, S. (1999). Solvability of a multi-point boundary value problem of Neumann type. Abstract and Applied Analysis, 4 (2), 71–81. doi: https://doi.org/10.1155/s1085337599000093
  30. Olver, P. J. (2014). Introduction to partial differential equations. Springer. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-319-02099-0
  31. Friedman, A. (1961). The wave equation for differential forms. Pacific Journal of Mathematics, 11 (4), 1267–1279. doi: https://doi.org/10.2140/pjm.1961.11.1267
  32. Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics. Mainly electromagnetism and matter. New York: New millennium ed., 566.
  33. Li, B. (2008). Wave Equations for Regular and Irregular Water Wave Propagation. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, 134 (2), 121–142. doi: https://doi.org/10.1061/(asce)0733-950x(2008)134:2(121)
  34. Lamoureux, M. P. (2006). The mathematics of PDEs and the wave equation. Calgary: Seismic Imaging Summer School, 39.
  35. Lie, K. A. (2005). The wave equation in 1D and 2D. Dep. of Informatics University of Oslo, 48.
  36. Chalyi, A. V. (2017). Medical and biological physics. Vinnytsia: Nova knyga, 476.
  37. Hughes, T. J. R., Lubliner, J. (1973). On the one-dimensional theory of blood flow in the larger vessels. Mathematical Biosciences, 18 (1-2), 161–170. doi: https://doi.org/10.1016/0025-5564(73)90027-8
  38. Blagitko, B., Zayachuk, I., Pyrogov, O. (2006). The Mathematical Model of the Pulse Wave Propagation in Large Blood Vascular. Fizyko-matematychne modeliuvannia ta informatsiyni tekhnolohiyi, 4, 7–11.
  39. Nahushev, A. M. (1995). Uravneniya matematicheskoy fiziki. Moscow: Vysshaya shkola, 304.
  40. Nitrebich, Z. M. (1996). An operator method of solving the Cauchy problem for a homogeneous system of partial differential equations. Journal of Mathematical Sciences, 81 (6), 3034–3038. doi: https://doi.org/10.1007/bf02362589
  41. Kalenyuk, P. I., Nytrebych, Z. M. (1999). On an operational method of solving initial-value problems for partial differential equations induced by generalized separation of variables. Journal of Mathematical Sciences, 97 (1), 3879–3887. doi: https://doi.org/10.1007/bf02364928
  42. Kalenyuk, P. I., Kohut, I. V., Nytrebych, Z. M. (2012). Problem with integral condition for a partial differential equation of the first order with respect to time. Journal of Mathematical Sciences, 181 (3), 293–304. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-012-0685-7
  43. Nitrebich, Z. M. (1996). A boundary-value problem in an unbounded strip. Journal of Mathematical Sciences, 79 (6), 1388–1392. doi: https://doi.org/10.1007/bf02362789
  44. Nytrebych, Z., Malanchuk, O., Il'kiv, V., Pukach, P. (2017). On the solvability of two-point in time problem for PDE. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 38, 715–726.
  45. Nytrebych, Z. М., Malanchuk, O. M. (2017). The differential-symbol method of solving the two-point problem with respect to time for a partial differential equation. Journal of Mathematical Sciences, 224 (4), 541–554. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3434-0
  46. Nytrebych, Z. M., Malanchuk, O. M. (2017). The differential-symbol method of solving the problem two-point in time for a nonhomogeneous partial differential equation. Journal of Mathematical Sciences, 227 (1), 68–80. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3574-2
  47. Bondarenko, B. A. (1987). Bazisnye sistemy polinomnyh i kvazipolinomnyh resheniy uravneniy v chastnyh proizvodnyh. Tashkent: Fan, 148.
  48. Hayman, W. K., Shanidze, Z. G. (1999). Polynomial solutions of partial differential equations. Methods and Applications of Analysis, 6 (1), 97–108. doi: https://doi.org/10.4310/maa.1999.v6.n1.a7
  49. Hile, G. N., Stanoyevitch, A. (2004). Heat polynomial analogues for equations with higher order time derivatives. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 295 (2), 595–610. doi: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.03.039

##submission.downloads##

Опубліковано

2019-02-27

Як цитувати

Nytrebych, Z., Ilkiv, V., Pukach, P., Malanchuk, O., Kohut, I., & Senyk, A. (2019). Аналітичний метод дослідження математичної моделі хвильових процесів з двоточковими умовами за часом. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 1(7 (97), 74–83. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.155148

Номер

Том 1 № 7 (97) (2019): Прикладна механіка

Розділ

Прикладна механіка

Ліцензія

Авторське право (c) 2019 Zinovii Nytrebych, Volodymyr Ilkiv, Petro Pukach, Oksana Malanchuk, Ihor Kohut, Andriy Senyk

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.

Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.