Моделювання пружного удару тіла з особливою точкою на його поверхні
DOI:
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.155854Ключові слова:
пружний удар, особлива точка на поверхні контакту, періодичні Ateb-функціїАнотація
Розглянуто пружний прямий удар по плоскій границі нерухомого півпростору тіла, обмеженого в зоні контактної взаємодії поверхнею обертання, порядок якої менший двох. Особливість задачі полягає в тому, що для вибраного випадку нескінченна кривизна граничної поверхні в точці первісного контакту, з якої розпочинається процес динамічного стискання тіл у часі. Крім основних припущень не хвильової квазистатичної теорії пружного удару твердих тіл, тут використано також відомий розв’язок статичної вісесиметричної контактної задачі теорії пружності. Процес удару з невеликою початковою швидкістю поділено на два етапи, а саме на динамічне стискання і динамічне розтискання. Для кожного з них побудовано аналітичний розв’язок нелінійного диференціального рівняння відносного зближення у часі центрів мас тіл. Розв’язок нелінійної задачі з початковими умовами для диференціального рівняння другого порядку на першому етапі виражено через Ateb-синус, а на другому – через Ateb-косинус. Для спрощення розрахунків складено окремі таблиці вказаних спеціальних функцій, а також запропоновано компактні апроксимації їх елементарними функціями. Встановлено, що похибка аналітичних наближень обох спеціальних функцій менша одного відсотка. Виведено також замкнені вирази для обчислень максимальних значень: стискання тіл, сили удару, радіуса кругової площадки контакту та тиску, який обмежений у центрі цієї площадки. Розглянуто числовий приклад, пов’язаний з ударом жорсткого пружного тіла по гумовому півпростору. Задачі такого типу виникають при моделюванні динамічної дії кусків твердої мінеральної сировини на гуму, при падінні їх на футеровані гумою валки вібраційного класифікатора. Внаслідок порівняння розрахованих параметрів удару, одержано гарну узгодженість числових результатів, до яких призводять побудовані аналітичні розв’язки та інтегрування нелінійного рівняння на комп’ютері. Цим підтверджена вірогідність побудованих аналітичних розв’язків задачі удару, які дають розгортку короткочасного процесу в часі
Посилання
- Pysarenko, H. S., Kvitka, O. L., Umanskyi, E. S. (2004). Opir materialiv. Kyiv: Vyshcha shkola, 655.
- Ol’shanskii, V. P., Ol’shanskii, S. V. (2013). Calculation of the dynamic deflection of a beam on inelastic impact by the Cox and Saint-Venant theories. Strength of Materials, 45 (3), 361–368. doi: https://doi.org/10.1007/s11223-013-9466-x
- Gol'dsmit, V. (1965). Udar. Teoriya i fizicheskie svoystva soudaryaemyh tel. Moscow: Stroyizdat, 447.
- Kil'chevskiy, N. A. (1976). Dinamicheskoe kontaktnoe szhatie tverdyh tel. Udar. Kyiv: Naukova dumka, 319.
- Abrate, S. (1994). Impact on Laminated Composites: Recent Advances. Applied Mechanics Reviews, 47 (11), 517. doi: https://doi.org/10.1115/1.3111065
- Jones, N. (1989). Structural impact. Cambridge: Cambridge Unіv. Press, 320.
- Hertz, H. (1882). Ueber die Berührung fester elastischer Körper. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), 92, 156–171. doi: https://doi.org/10.1515/crll.1882.92.156
- Chun, L., Lam, K. Y. (1998). Dynamic response of fully-clamped laminated composite plates subjected to low-velocity impact of a mass. International Journal of Solids and Structures, 35 (11), 963–979. doi: https://doi.org/10.1016/s0020-7683(96)00231-4
- Smetankina, N. V. (2016). Vibrations of laminated orthotropic shells with complex shape at impact loading. Vibratsiyi v tekhnitsi ta tekhnolohiyakh, 2 (82), 77–84.
- Khalili, S. M. R., Soroush, M., Davar, A., Rahmani, O. (2011). Finite element modeling of low-velocity impact on laminated composite plates and cylindrical shells. Composite Structures, 93 (5), 1363–1375. doi: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2010.10.003
- Heimbs, S., Heller, S., Middendorf, P., Hähnel, F., Weiße, J. (2009). Low velocity impact on CFRP plates with compressive preload: Test and modelling. International Journal of Impact Engineering, 36 (10-11), 1182–1193. doi: https://doi.org/10.1016/j.ijimpeng.2009.04.006
- Li, D. H., Liu, Y., Zhang, X. (2014). Low-velocity impact responses of the stiffened composite laminated plates based on the progressive failure model and the layerwise/solid-elements method. Composite Structures, 110, 249–275. doi: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2013.12.011
- Faggiani, A., Falzon, B. G. (2010). Predicting low-velocity impact damage on a stiffened composite panel. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 41 (6), 737–749. doi: https://doi.org/10.1016/j.compositesa.2010.02.005
- Habil, H., Hayder, H. (2015). The low-velocity impact response of laminated composite plates with holes. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology, 2 (4), 726–733.
- Shtaerman, I. Ya. (1949). Kontaktnaya zadacha teorii uprugosti. Moscow-Leningrad: Gostekhizdat, 272.
- Abramovic, M., Stigan, I. (1979). Spravochnik po special'nym funkciyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablicami). Moscow: Nauka, 832.
- Yanke, E., Emde, F., Lesh, F. (1977). Special'nye funkcii. Moscow: Nauka, 344.
- Gradshteyn, I. S., Ryzhik, I. M. (1962). Tablicy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy. Moscow: Nauka, 1100.
- Fu, G. (2007). An Extension of Hertz’s Theory in Contact Mechanics. Journal of Applied Mechanics, 74 (2), 373. doi: https://doi.org/10.1115/1.2188017
- Sokil, B. I. (1997). Pro zastosuvannia Ateb-funktsiy dlia pobudovy rozviazkiv deiakykh rivnian, yaki opysuiut neliniyni kolyvannia odnovymirnykh seredovyshch. Dopovidi Natsionalnoi akademiyi nauk Ukrainy, 1, 55–58.
- Hrytsyk, V. V., Nazarkevych, M. A. (2007). Matematychni modeli alhorytmiv i realizatsiya Ateb-funktsiy. Dopovidi Natsionalnoi akademiyi nauk Ukrainy, 12, 37–42.
- Pukach, P. Ya. (2014). Yakisni metody doslidzhennia neliniynykh kolyvalnykh system. Lviv: Lvivska politekhnika, 288.
- Olshanskiy, V. P., Olshanskiy, S. V. (2018). Ateb-sine in the solution of Hertz’s problem of impact. Visnyk Natsionalnoho tekhnichnoho universytetu "KhPI". Seriya: Matematychne modeliuvannia v tekhnitsi ta tekhnolohiyakh, 3, 98–103.
- Olshansky, V. P., Olshansky, S. V. (2017). About the motion of the oscillator with the degree of characteristic of elasticity. Vibratsiyi v tekhnitsi ta tekhnolohiyakh, 3, 34–40.
- Nadutiy, V. P., Yagnyukov, V. F., Yagnyukova, I. V. (2014). Vzaimodeystvie kuskov materiala s futerovannym valkom vibracionnogo klassifikatora. Vibratsiyi v tekhnitsi ta tekhnolohiyakh, 1, 94–99.
- D'yakonov, V. P. (2013). Maple 8 v matematike, fizike i obrazovanii. Moscow: Solon-Press, 656.
- Bahvalov, N. S., Zhidkov, N. P., Kobel'nikov, G. M. (2001). Chislennye metody. Moscow: Binom, 630.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 Vasyl Ol’shanskii, Oleksandr Spol’nik, Maksym Slipchenko, Vasyl Znaidiuk
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.
Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.
