Обчислення функції Гріна крайових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь

Анотація

Функція Гріна знаходить широке застосування при розв’язку крайових задач для диференціальних рівнянь, до яких зводяться багато математичних і фізичних задач. Зокрема, розв’язки диференціальних рівнянь з частинними похідними методом Фур’є зводяться до крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. За допомогою функції Гріна для однорідної задачі можна знайти розв’язок неоднорідного диференціального рівняння. Знання функції Гріна дає можливість розв’язувати цілий клас задач з знаходження власних значень в квантовій теорії поля.

Описана розроблена побудова функції Гріна крайових задач для звичайних лінійних диференціальних рівнянь. Представлені алгоритм і програма в системі Maple для обчислення функції Гріна крайових задач для диференціальних рівнянь другого та третього порядків в явному аналітичному вигляді. Наведені приклади обчислення функції Гріна для конкретних крайових задач. Необхідна для побудови функції Гріна фундаментальна система розв’язків звичайних диференціальних рівнянь з особливими точками обчислюється в вигляді узагальнених степеневих рядів за допомогою розроблених програм в середовищі Maple. Розроблено алгоритм побудови функції Гріна в вигляді степеневих рядів для диференціального рівняння другого та третього порядків з заданими крайовими умовами. Складено робочі програми в середовищі Maple для обчислення функції Гріна довільних крайових задач для диференціальних рівнянь другого та третього порядків. Наведено розрахунки функції Гріна для конкретних крайових задач третього порядку за допомогою розробленої програми. Проведено порівняння отриманої наближеної функції Гріна з відомими виразами точної функції Гріна і отримана дуже гарна згода