Розробка методу вирішення рівняння Ріккаті для опису параметрів об'єктів в аналітичному вигляді
DOI:
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2020.205107Ключові слова:
рівняння Ріккаті, особливі точки, лінеаризація, обезразмеріваніе, аналітичне рішення, елементарні функціїАнотація
Виділено особливість нелінійних диференціальних рівнянь, які найбільш адекватно описують властивості об'єктів. Проаналізовано можливі методи їх лінеаризації. Відзначено проблеми, пов'язані з розв’язанням вихідних рівнянь у вигляді, які було лінеаризовано. Як приклад наведено рівняння Ріккаті.
Для рівняння Ріккаті спеціального виду розроблено метод його розв’язання з представленням результатів в аналітичному вигляді. В його основу закладено використання лінеаризації і спеціального методу обезрозмірювання.
Особливість розробленого методу визначається його використанням не до вихідного рівняння, а до його дискретного аналогу. Результатом розв’язання є аналітична залежність на основі елементарних функцій. Результат отримано на основі використання існуючого аналітичного розв’язання (опорного, базового) одного з рівнянь розглянутого типу. Всі вихідні рівняння розглянутого типу мають однотипне розв’язання. Це відноситься і до рівнянь, які не мали раніше аналітичного розв’язання.
Розроблено формалізовану процедуру реалізації розробленого методу. Вона дозволяє зв'язати аналітичний вид розв’язання даного рівняння з відомим аналітичним розв’язанням базового. Такий зв'язок можливий внаслідок рівності дискретних аналогів даного і базових рівнянь. Рівність дискретних аналогів забезпечується застосуванням спеціального методу обезрозмірювання.
Придатність методу і адекватність отриманих результатів показана шляхом їх порівняння з наявними аналітичними розв’язанням двох рівнянь Ріккаті спеціального виду. В одному випадку рішення має рухомі особливі точки. У другому випадку відоме рішення має асимптоту, але при додатних значеннях аргументу особливі точки відсутні.
Наведено можливість застосування розробленого методу для розв’язання рівняння Ріккаті загального вигляду
Посилання
- Xie, X.-J., Park, J. H., Mukaidani, H., Zhang, W. (2019). Mathematical Theories and Applications for Nonlinear Control Systems. Mathematical Problems in Engineering, 2019, 1–6. doi: https://doi.org/10.1155/2019/2065786
- Hieu, D. V., Hai, N. Q., Hung, D. T. (2018). The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Solving Undamped Nonlinear Oscillators. Journal of Applied Mathematics, 2018, 1–15. doi: https://doi.org/10.1155/2018/7487851
- Grumiller, D., Riedler, W., Rosseel, J., Zojer, T. (2013). Holographic applications of logarithmic conformal field theories. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 46 (49), 494002. doi: https://doi.org/10.1088/1751-8113/46/49/494002
- Hyvönen, N., Mustonen, L. (2018). Generalized linearization techniques in electrical impedance tomography. Numerische Mathematik, 140 (1), 95–120. doi: https://doi.org/10.1007/s00211-018-0959-1
- Wang, L., Zhang, H., Liu, X. (2013). Sliding mode variable structure I/O feedback linearization design for the speed control of PMSM with load torque observer. International Journal of Innovative Computing, Information and Control ICIC International, 9 (8), 3485–3496.
- Bartosiewicz, Z., Kotta, Ü., Tõnso, M., Wyrwas, M. (2015). Static state feedback linearization of nonlinear control systems on homogeneous time scales. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 27 (4), 523–550. doi: https://doi.org/10.1007/s00498-015-0150-5
- Şahin, S. (2015). Learning Feedback Linearization Using Artificial Neural Networks. Neural Processing Letters, 44 (3), 625–637. doi: https://doi.org/10.1007/s11063-015-9484-8
- Van Remortel, N. (2016). The nature of natural units. Nature Physics, 12 (11), 1082–1082. doi: https://doi.org/10.1038/nphys3950
- Hsu, L., Hsu, J. P. (2012). The physical basis of natural units and truly fundamental constants. The European Physical Journal Plus, 127 (1). doi: https://doi.org/10.1140/epjp/i2012-12011-5
- Brunetkin, O., Maksymova, O., Trishyn, F. (2018). Development of the method for reducing a model to the nondimensionalized form. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 3 (4 (93)), 26–33. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2018.132562
- Brunetkin, O., Maksymov, M., Maksymova, O., Zosymchuk, A. (2017). Development of a method for approximate solution of nonlinear ordinary differential equations using pendulum motion as an example. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 5 (4 (89)), 4–11. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2017.109569
- Ayryan, E. A., Malykh, M. D., Sevastianov, L. A. (2018). Finite differences method and integration of differential equations in finite terms. Dubna.
- Al'shina, E. A., Kalitkin, N. N., Koryakin, P. V. (2005). The Singularity Diagnostic in Calculations with Accuracy Control. Comp. Math. Math. Phys., 45 (10), 1769–1779.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2020 Yevhenii Dobrynin, Olexander Brunetkin, Maksym Maksymov, Оleksii Maksymov
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.
Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.
