Інтегрування лінійних звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядка в середовищі MAPLE

Автор(и)

  • Irina Belyaeva Belgorod State University, Російська Федерація https://orcid.org/0000-0002-7674-1716
  • Ігор Костянтинович Кириченко Харківський Національний автомобільно-дорожній університет, Україна https://orcid.org/0000-0001-7375-8275
  • Олег Дмитрович Пташний Харківський Національний автомобільно-дорожній університет, Україна https://orcid.org/0000-0001-6123-7253
  • Наталья Миколаївна Чеканова Харківський Національний автомобільно-дорожній університет, Україна https://orcid.org/0000-0001-9134-2951
  • Тетяна Олександрівна Ярхо Харківський Національний автомобільно-дорожній університет, Україна https://orcid.org/0000-0003-2669-5384

DOI:

https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021.233944

Ключові слова:

комп’ютерне моделювання, звичайні диференціальні рівняння четвертого порядку, узагальнені степеневі ряди, регулярні особливі точки

Анотація

Запропоновано метод розв’язку звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядку в вигляді звичайних степеневих рядів, а для випадку наявності регулярних особливих точок в вигляді узагальнених степеневих рядів. Розроблено алгоритм і складена програма в середовищі MAPLE (Waterloo, Ontario, Canada) для розв’язку диференціальних рівнянь четвертого порядку. Розглянено всі типи розв’язків в залежності від коренів досліджуваного рівняння. Наведено приклади розв’язку диференціальних рівнянь четвертого порядку й наведено порівняння з існуючими в літературі результатами, які показують повну згоду з даними розрахунками, що підтверджує ефективність розроблених програм. Суттєвою розпізнавальною особливістю даної роботи є те, що точність результатів контролюється числом членів в степеневих рядах й кількістю знаків (до 20 знаків) в мантисах десяткових чисел при проведенні чисельних розрахунків. Тому є можливість досягти будь-яку точність, яка можлива на даній електронно-обчислювальній машині або комп’ютеру. Запропонований символьно-чисельний метод та робоча програма можуть бути успішно використані при розв’язку задач на власні значення, в яких дуже важлива контролюєма точність, так як власні значення дуже (експоненціально) чутливі до точності знайдених власних значень. Розроблений алгоритм може бути реалізований в других відомих пакетах комп’ютерної алгебри, таких як REDUCE (Santa Monica, CA), MATHEMATICA (USA), MAXIMA (USA) та інших. Програма розв’язку звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядку може бути використана для побудови функцій Гріна крайових задач, для розв’язку диференціальних рівнянь з частинними похідними, системи диференціальних рівнянь Гамільтона та в других задачах математичної фізики

Біографії авторів

Irina Belyaeva, Belgorod State University

PhD, Associate Professor

Department of Computer Science, Natural Sciences and Teaching Methods

Ігор Костянтинович Кириченко, Харківський Національний автомобільно-дорожній університет

Доктор фізико-математичних наук, професор

Кафедра вищої математики

Олег Дмитрович Пташний, Харківський Національний автомобільно-дорожній університет

Кандидат педагогічних наук, доцент

Кафедра вищої математики

Наталья Миколаївна Чеканова, Харківський Національний автомобільно-дорожній університет

Кандидатка фізико-математичних наук, доцентка

Кафедра вищої математики

Тетяна Олександрівна Ярхо, Харківський Національний автомобільно-дорожній університет

Докторка педагогічних наук, професорка

Кафедра вищої математики

Посилання

  1. Trikomi, F. (1962). Differentsial'nye uravneniya. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoy literatury, 352.
  2. Berezin, I. S., Zhidkov, N. P. (1962). Metody vychisleniy differentsial'nyh uravneniy. Moscow: Gos. izdatel'stvo fiz.-mat. literatury, 620.
  3. Bahvalov, N. S. (1973). Chislennye metody (analiz, algebra, obyknovennye differentsial'nye uravneniya). Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiz.-mat. literatury, 632.
  4. Kollatts, L. (1968). Zadachi na sobstvennye znacheniya. Moscow: Nauka, 504.
  5. Demihovskiy, V. Ya. (2000). Fizika kvantovyh nizkorazmernyh struktur. Moscow: Logos, 248.
  6. Dong, L., Alotaibi, A., Mohiuddine, S. A., Atluri, S. N. (2014). Computational methods in engineering: A variety of primal & mixed methods, with global & local interpolations, for well-posed or ill-posed BCs. CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences, 99 (1), 1–85. Available at: https://www.scopus.com/record/display.uri?eid=2-s2.0-84904022089&origin=inward&txGid=31ec3491db056863e37edd98aa82519c
  7. Polyanin, A., Zaitsev, V. (2018). Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems, 1496. doi: https://doi.org/10.1201/9781315117638
  8. Dzhakal'ya, G. E. O. (1979). Metody teorii vozmuscheniy dlya nelineynyh sistem. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiz.-mat. literatury, 320.
  9. Nayfe, A. (1976). Metody vozmuscheniy. Moscow: Izd-vo “Mir”, 456.
  10. Grebenikov, E. A. (1986). Metod usredneniya v prikladnyh zadachah. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiz.-mat. literatury, 256.
  11. Marchuk, G. I. (1977). Metody vychislitel'noy matematiki. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiz.-mat. literatury, 456.
  12. Abramov, A., Berkovich, L. M., Hantzschmann, K. (1990). Extended possibilities of some computer algebra algorithms for solving linear differential and difference equations. IV International Conference on Computer Algebra in Physical Research. Dubna.
  13. Jator, S. N. (2008). Numerical integrators for fourth order initial and boundary value problems. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 47 (4), 563–576.
  14. Alomari, A. K., Anakira, N. R., Bataineh, A. S., Hashim, I. (2013). Approximate Solution of Nonlinear System of BVP Arising in Fluid Flow Problem. Mathematical Problems in Engineering, 2013, 1–7. doi: https://doi.org/10.1155/2013/136043
  15. Poslavsky, S. (2019). Rings: An efficient Java/Scala library for polynomial rings. Computer Physics Communications, 235, 400–413. doi: https://doi.org/10.1016/j.cpc.2018.09.005
  16. Kayal, N., Nair, V., Saha, C. (2019). Average-case linear matrix factorization and reconstruction of low width algebraic branching programs. Computational Complexity, 28 (4), 749–828. doi: https://doi.org/10.1007/s00037-019-00189-0
  17. England, M., Florescu, D. (2019). Comparing Machine Learning Models to Choose the Variable Ordering for Cylindrical Algebraic Decomposition. Intelligent Computer Mathematics, 93–108. doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-23250-4_7
  18. Grudo, Y. O., Kalinin, A. I. (2006). Asymptotic optimization method for a quasilinear system with multidimensional controls. Differential Equations, 42 (12), 1674–1681. doi: https://doi.org/10.1134/s0012266106120020
  19. Galanin, M. P., Sorokin, D. L. (2020). Solving Exterior Boundary Value Problems for the Laplace Equation. Differential Equations, 56 (7), 890–899. doi: https://doi.org/10.1134/s0012266120070083
  20. Mozzhorina, T. Yu. (2017). Numerical solution to problems of optimal control with switching by means of the shooting method. Matematicheskoe Modelirovanie i Chislennye Metody, 14, 94–106. Available at: http://www.mathnet.ru/links/6d5f8ecc7e0c0b1543da6fc6984b9ec4/mmcm101.pdf
  21. Hussain, K., Ismail, F., Senu, N. (2016). Solving directly special fourth-order ordinary differential equations using Runge–Kutta type method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 306, 179–199. doi: https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.002
  22. You, X., Chen, Z. (2013). Direct integrators of Runge–Kutta type for special third-order ordinary differential equations. Applied Numerical Mathematics, 74, 128–150. doi: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2013.07.005
  23. Islam, M. A. (2015). Accurate Solutions of Initial Value Problems for Ordinary Differential Equations with the Fourth Order Runge Kutta Method. Journal of Mathematics Research, 7 (3). doi: https://doi.org/10.5539/jmr.v7n3p41
  24. Waeleh, N., Majid, Z. A., Ismail, F., Suleiman, M. (2012). Numerical Solution of Higher Order Ordinary Differential Equations by Direct Block Code. Journal of Mathematics and Statistics, 8 (1), 77–81. doi: https://doi.org/10.3844/jmssp.2012.77.81
  25. Waeleh, N., Majid, Z. A., Ismail, F. (2011). A new algorithm for solving higher order IVPs of ODEs. Applied Mathematical Sciences, 5, 2795–2805. Available at: http://www.m-hikari.com/ams/ams-2011/ams-53-56-2011/majidAMS53-56-2011.pdf
  26. Bulavina, I. V., Kirichenko, I. K., Chekanov, N. N., Chekanova, N. A. (2011). Calculations the eigenvalues and functions for Mathieu equation by means of the maple mathematical package. Vestnik Hersonskogo natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta, 3 (42), 115–118.
  27. Chekanova, N. N., Chekanov, N. A. (2013). Invarianty odnomernogo garmonicheskogo ostsillyatora s zavisyaschey ot vremeni chastotoy. Vestnik Hersonskogo natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta, 2 (47), 372–374.
  28. Bogachev, V. E., Kirichenko, I. K., Chekanova, N. N., Chekanov, N. A. (2015). Issledovanie nelineynoy gamil'tonovoy sistemy metodom normal'noy formy Birkgofa-Gustavsona. Visnyk Kharkivskoho natsionalnoho universytetu imeni V. N. Karazina. Seriya: Matematychne modeliuvannia. Informatsiyni tekhnolohiyi. Avtomatyzovani systemy upravlinnia, 1156, 17–28.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-06-29

Як цитувати

Belyaeva, I., Кириченко, І. К., Пташний, О. Д., Чеканова, Н. М., & Ярхо, Т. О. (2021). Інтегрування лінійних звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядка в середовищі MAPLE. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 3(4 (111), 51–57. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021.233944

Номер

Том 3 № 4 (111) (2021): Математика та кібернетика - прикладні аспекти

Розділ

Математика та кібернетика - прикладні аспекти

Ліцензія

Авторське право (c) 2021 Irina Belyaeva, Natalia Chekanova, Igor Kirichenko, Oleh Ptashnyi, Tetiana Yarkho

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Закріплення та умови передачі авторських прав (ідентифікація авторства) здійснюється у Ліцензійному договорі. Зокрема, автори залишають за собою право на авторство свого рукопису та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons CC BY. При цьому вони мають право укладати самостійно додаткові угоди, що стосуються неексклюзивного поширення роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом, але за умови збереження посилання на першу публікацію статті в цьому журналі.

Ліцензійний договір – це документ, в якому автор гарантує, що володіє усіма авторськими правами на твір (рукопис, статтю, тощо).
Автори, підписуючи Ліцензійний договір з ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР», мають усі права на подальше використання свого твору за умови посилання на наше видання, в якому твір опублікований. Відповідно до умов Ліцензійного договору, Видавець ПП «ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЦЕНТР» не забирає ваші авторські права та отримує від авторів дозвіл на використання та розповсюдження публікації через світові наукові ресурси (власні електронні ресурси, наукометричні бази даних, репозитарії, бібліотеки тощо).
За відсутності підписаного Ліцензійного договору або за відсутністю вказаних в цьому договорі ідентифікаторів, що дають змогу ідентифікувати особу автора, редакція не має права працювати з рукописом.
Важливо пам’ятати, що існує і інший тип угоди між авторами та видавцями – коли авторські права передаються від авторів до видавця. В такому разі автори втрачають права власності на свій твір та не можуть його використовувати в будь-який спосіб.